Was ist ein "Hamiltonian flow"

_-Alex-_ · Anmeldungsdatum: 06.03.2007 Beiträge: 262

Hallo,

ich entschuldige mich gleich mal vorne Weg für diese dumme Frage, ich hab aber im Internet nichts gefunden, was mir hilft.

Ich habe hier folgende Aufgabe:
Also ich habe ein 2 dimensionales Magnetfeld und ein Vektorpotential.
Jetzt lautet die erste Teilaufgabe: Argue that the field lines corresponding to B can be interpreted in terms if Hamiltonian flows in phase space of a suitable equivalent mechanical system with a single degree of freedom.

Ich weiß jetzt leider nicht, was mit "Hamiltonian flows in phase space.." gemeint ist. Kann mir das jemand verraten?

MfG

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Weißt du was die Hamiltonfunktion eines Systems ist? weißt du, was der Phasenraum ist?

Wenn nicht, dann müsstest du das mal googeln.

Ein Startpunkt wäre http://de.wikipedia.org/wiki/Hamiltonsche_Mechanik - wobei die englische Wikipedia wie so oft besser ist.

In Kürze: die Hamiltonfunktion H(q,p) erhält man aus der Langrangefunktion durch Legendre-Transformation in den Geschwindigkeiten. H(q,p) generiert die Zeitentwicklung der Koordinaten q und kanonisch konjugierten Impulse p entsprechend der Poissonklammern {H,q} und {H,p}. Für ein n-dimensionales System ist der durch q und p aufgespannte der Phasenraum 2n-dimensional.

Man kann sich nun einen beliebigen Punkt q und p in diesem Phasenraum wählen - dies entspricht letztlich nur der Wahl einer Anfangsbedingung - und die durch H generierte Zeitentwicklung im Phasenraum betrachten. Man erhält dann eine Trajektorie (q(t), p(t)). Die Gesamtheit aller Trajektorien entspricht einer Art Fluss im Phasenraum, dem sogenannten Hamiltonschen Fluss (da er von H erzeugt wird).

Wesentlich dabei ist, dass für konservative Systeme dieser Fluss Eigenschaften einer inkompressiblen Flüssigkeit hat, d.h. das Phasenraumvolumen ist invariant unter diesem Fluss; betrachtet man konkret die Zeitentwicklung einer kleinen Kugel im Phasenraum, so wird diese durch den Fluss natürlich entlang der Tranjektorien bewegt sowie verzerrt, ihr Volumen bleibt jedoch konstant (Liouvillesches Theorem)