Krummlinige Koordinatensysteme

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Meine Frage:
Hallo,
Tut mir leid, dass ich in letzter Zeit das Forum hier so vollposte, aber ich hab kaum noch Zeit bis zur Klausur und immer noch verdammt viele Fragezeichen im Kopf... unglücklich

Ich habe, obwohl ich mir das ganze schon mehrmals in diversen Büchern reingezogen habe, immer noch ein Verständnisproblem, was den Umgang mit krummlinigen Koordinatensystemen angeht. Wie ich die Einheitvektoren berechne und wie ich Transformiere ist mir grob klar. Allerdings verstehe ich nicht, wie z.B. Komponentenschreibweise in Kugelkoordinaten gehen soll. Ich brauche da ja, um einen Punkt im Raum anzugeben, einen Radius und 2 Winkel. Das wird ja dann so hingeschrieben:

Die Einheitsvektoren hängen ja jetzt aber wieder von den Winkeln ab. Deshalb kann man ja nicht schreiben:

,oder? Aber wie kann man das dann in Komponenten zerlegen? Außerdem würden dann die Einheitsvektoren im Prinzip gar nichts bringen für die Angabe von Ortsvektoren, sondern nur für die Richtung von z.B. Kräften, wie beim Fadenpendel.
Stimmt das soweit oder bin ich auf dem Holzweg?
Viele Grüße
Nima93

Meine Ideen:
s.o.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Du liegst überhaupt nicht falsch - hier noch mal damit es vielleicht etwas klarer wird:

Wenn du vom Ursprung aus einen Punkt in Kugelkoordinaten beschreiben willst, also mit

,

und

, dann gilt zunächst mal

Offensichtlich kannst du also in dieser Darstellungen, wenn

,

und

nicht festgelegt sind, jeden Vektor beschreiben. Deine Frage ist also durchaus berechtigt!

Aber eigentlich hätten wir bis hierher keine Kugelkoordinaten gebraucht, wir haben nur die kartesischen Koordinaten, die ja keine krummlinigen Koordinaten sind, als Funktion dreier Variablen ausgedrückt.

Das entscheidende bei krummlinigen (orthogongalen) Koordinaten ist aber nun, dass dein Koordinatensystem in jedem Punkt im Raum, der durch

,

und

definiert ist, durch ein anderes Dreibein der drei Einheitsvektoren definiert ist.

D.h. wenn du einen Punkt im Raum betrachtest, also

,

und

festgelegt sind, dann hast du in diesem Punkt ein individuelles Koordinatensystem gegeben durch

,

und

. Die Angabe eines Vektors in diesem Koordinatensystem macht daher nur Sinn, wenn dieser sich auch auf diesen durch

,

und

definierten Punkt bezieht. Das kann z.B. die Geschwindigkeit eines Punktes sein, der sich an diesem Ort befindet, oder eine Kraft, welche an diesem Punkt angreift.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Vielen Dank für die ausfühlriche Antwort!!
Ich denke, ich hab das jetzt weitgehend verstanden, werde später mal ein paar Aufgaben dazu rechnen, dann seh ichs ja smile