Erwartungswert des Impulsoperators in Impulsdarstellung

Xuk · Anmeldungsdatum: 19.05.2012 Beiträge: 3

Meine Frage:
Hallo,
wie berechne ich den Erwartungswert des Impulsoperators zum Quadrat in Impulsdarstellung?
Folgendes habe ich gegeben:

Meine Ideen:

weil

reell ist.

Aber daraus ergibt sich ein Integral, das ich nicht lösen kann.
Bestimmt habe ich irgendwo Irgendwas übersehen... Oder?
Bin dankbar für jede Hilfe!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21601

Doch, das kannst du lösen.

Zunächst substituierst du so, dass im Exponenten aus (p/h-k) die neue Variable p'/h entsteht. Damit ändert sich auch dein p² vor dem Exponenten. Die Integrationsgrenzen (hast du vergessen hinzuschreiben) bleiben aber gleich.

Xuk · Anmeldungsdatum: 19.05.2012 Beiträge: 3

Gut...

ich substituiere:

und erhalte:

Aber dann?..
Der e-Term sieht ja nach dem Gauß-Fehlerintegral aus, aber was mache ich mit dem quadratischen Term vor dem Exponenten?

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

multipliziere aus, dann erhältst du
- ein Gaußintegral
- ein Integral, das sich durch Substitution einfach lösen lässt
- ein Integral, das du zunächst partiell integrieren müsstest, um es dann wie das zweite zu knacken.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21601

Ein Trick:

Dann die Integration und die Ableitung vertauschen, das dp-Integral ausführen und das Ergebnis (das vom Parameter a abhängt) nach a ableiten ;-)

Xuk · Anmeldungsdatum: 19.05.2012 Beiträge: 3

Ooh, Erlösung! Danke!

Also dann:

Das mittlere Integral ist Null, weil der Integrand antisymmetrisch ist.

Mit dem Vorfaktor, den ich bis jetzt nicht mitgeschleppt habe, lautet das Endergebnis:

Yuhu!!!