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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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 Jayk Verfasst am: 17. Jul 2012 18:50 Titel: IPhO-Aufgabe "Statit" |
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Hallo!
Ich habe letztes Jahr knapp (um einen Platz) die dritte Runde der IPhO "verpasst" und wollte mich daher ein wenig vorbereiten. Ich habe mir mal die Beispielaufgaben angesehen und leider gibt es zu der Aufgabe "Statit" keine Beispiellösung.
"Statit (3. Runde 2007)
Eine vollständig reflektierende Kugel mit mittlerer Dichte 1000 kg m-3 wird durch den Einfluss der Gravitation und der Strahlung der Sonne an einem festen Punkt in unserem Sonnensystem gehalten.
Bei welchem im Vergleich zum Sonnenradius großen Abstand zur Sonne ist dies möglich? Wie groß ist jeweils der Radius r der Kugel?
Hinweise: Sonnenmasse mS = 2,0 1030 kg, Strahlungsleistung der Sonne PS = 3,8 1026 W"
Meine Gedanken:
Kräftegleichgewicht:
 / d^2) (Kugelradius r, Abstand d)
Impuls: )
)
Gleichsetzen und Auflösen:
Schön und gut, aber d taucht darin nicht auf. Was soll also die Frage "bei welchem Abstand ist dies möglich" bzw. "wie groß ist jeweils r"? Habe ich was falsch gemacht? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 17. Jul 2012 19:03 Titel: |
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Was die Unabhängigkeit von d angeht: nein. |
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Catweasel
Anmeldungsdatum: 06.08.2011
Beiträge: 330
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| Catweasel Verfasst am: 17. Jul 2012 19:06 Titel: |
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Das scheint mir soweit richtig. Ich würde sagen du hast bewiesen, dass die Entfernung zur Sonne damit keine Rolle spielt. |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 17. Jul 2012 23:05 Titel: |
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Zum Einfluss der Oberflächenneigung auf die Impulsänderung bei Reflexion (und damit die resultierende Kraft aufgrund der Strahlung) ist vielleicht der Hinweis auf diese frühere Diskussion ein Anfang.
_________________
Formeln mit LaTeX |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Jul 2012 03:11 Titel: |
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Ein weiteres Beispiel . |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 18. Jul 2012 11:04 Titel: |
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Das habe ich natürlich nicht bedacht. Also gehe ich jetzt von einem Gesamtimpuls p, der auf eine Scheibe mit Radius r wirkt, aus und vergleiche das mit dem echten Impuls p'.
; p(\phi) = dA_\perp (\phi)/(\pi r^2) \cdot p)
 = d\phi [2 \pi r(\phi)] \cos \phi; r(\phi) = r \sin \phi)
Also  p = \frac{2 p}{r} \left[ \int_0^{\pi / 2} d\phi \sin \phi - \int_0^{\pi/2} d\phi \sin^3 \phi \right])
Okay, der Abstand zur Sonne taucht dann trotzdem nicht auf. Aber wie berechne ich das Integral da oben (über sin³(x))? Int. durch Substitution?
EDIT: Ich habe natürlich das Integral über cos²(x) sin(x) durch [1-sin² x] sin(x) = sin x - sin³ x ersetzt. Ich dachte, das wäre einfacher. http://www.matheboard.de/archive/398376/thread.html hilft auch nicht wirklich, weil das scheinbar nicht zu ende diskutiert wurde.
EDIT2: Kann es sein, dass  dx = \int\limits_{- \cos 0}^{-cos (\pi/2)} (1 - x^2) dx) ist? Also von -1 bis 0... Ich bin mir deshalb etwas unsicher, weil Integralrechnung erst nächstes Jahr drankommt. |
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eva1
Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532
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| eva1 Verfasst am: 18. Jul 2012 14:03 Titel: |
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Bedenke:
 \sin(x) \;dx=-\frac{1}{3} \cos^3(x) +c)
Das sieht man ja gleich, da hier ja ein Ausdruck wie f*f' steht. |
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JaykIstNichtEingeloggt
Gast
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| JaykIstNichtEingeloggt Verfasst am: 18. Jul 2012 14:30 Titel: |
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Jetzt, wo du es sagst... Ich bin halt einfach noch nicht so geübt darin, so etwas zu erkennen. Vielen Dank! |
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eva1
Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532
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| eva1 Verfasst am: 22. Jul 2012 18:11 Titel: |
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Ach ja, bei diesen Integralen mit der Funktioinaldeterminaten von ) bietet sich auch immer die Substitution, ) .
Denn dann ergibt:
\cdot \sin(\theta) \; d\theta = \int_{-1}^1 u^2 \; du)
Das Vereinfacht oft die Rechnung, da es symmetrische Grenzen hat und falls die entstandene Funktion ungerade ist, kann man sofort sagen, dass das Integral verschwindet. |
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Jannick
Gast
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| Jannick Verfasst am: 22. Jul 2012 19:52 Titel: Unabhaengigkeit von d |
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Es ist anschaulich klar, dass die Loesung unabhaengig von d sein muss,
da sowohl die Gravitationskraft als auch der Strahlungsdruck mit 1/d^2 sklarieren. Deine Gleichung ist somit von der Form
womit 1/d^2 einfach wegfaellt. |
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