Schrödinger Gleichung mit Magnetfeld - Herleitung

Jat0 · Gast

Meine Frage:
Hey Leute,
ich sitz hier gerade an einer Aufgabe aus QM I und komm einfach nicht weiter. Es geht um ein Teilchen in einem elektromagnetischen Feld. Ich hab keine Ahnung warum der "Magnetfeldteil" zum "Impulsteil" addiert wird. Dass das E-Feld "hinten" bei der Potenziellen Energie steht ist mir klar, nur eben beim B-Feld komm ich nicht drauf.

Meine Ideen:
Ich hab schon versucht das durch die Eichinvarianz hinzukriegen aber das hat auch nicht geklappt.
Physikalisch bin ich mir auch nicht so gaaaaanz sicher: Das E-Feld "zieht" ja am Teilchen wie ein Gravitationspotenzial an einem Körper. Das Magnetfeld aber ändert nur seine Richtung, ohne es zu beschleunigen. Bin also schon soweit, dass das B-Feld die Richtung des Teilchens ändert. Deswegen stehts auch beim Impuls. Aber WIE ich mathematisch drauf komm weiß ich einfach nicht.

Wäre echt cool ihr mir helft ;-)

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Was da zusammen mit dem Impuls auftaucht ist nicht das B-Feld selber, sondern das Vektorpotential. Das ist auch kein QM-Phaenomen, sondern tritt genauso in der klassischen Mechanik fuer geladene Teilchen auf.

Siehe zb Wiki oder hier.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Grober Überblick:
Man nimmt Lorenzkraft und versucht sie so umzuformen, dass sie sich als eine generalisierte Kraft schreiben lässt.

Daraus kann man dann das generalisierte Potential für EM

ablesen.
Jetzt bilde Lagrangefunktion L=T-V und mache Legendre-Transformation, um Hamiltonfunktion zu erhalten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

klassische Elektrodynamik
Der Startpunkt ist die klassische Lagrangefunktion für ein Teilchen im elektromagnetsichen Feld. Daraus leitet man die kanonisch konjugierten Orte und Impulse ab. Im Falle des Magnetfeldes (des Vektorpotentials) unterscheiden sich die kinematischen und die kanonischen Impulse gerade um den Vektorpotentialterm. Anschließend führt man die Legendretransformation durch und konstruiert die Hamiltonfunktion. Dies ist der Ausgangspunkt der kanonischen Quantisierung.

Jackson

Quantenmechanik
Bei der Quantisierung ersetzt man die Poissonklammern der klassischen Mechanik zwischen den kanonisch konjugierten Orten und Impulsen durch den Kommutator, den Impuls also logischerweise wieder durch -id/dx. Aufgrund der Differenz der kinematischen und kanonischen Impulse, nämlich des Vektorpotentials, taucht der zusätzliche Term auch in der qm Schrödingergleichung auf. Diese "erbt" damit übrigens auch die U(1) Eichinvarianz der klassischen Elektrodynamik.

Landau & Lifschitz III