Bewegung im Potential -> Gleichgewichtslagen

Bomi · Anmeldungsdatum: 22.07.2012 Beiträge: 8

Meine Frage:
Hallo, habe noch ein mechanisches Problem:
Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in folgendem Potential:

und

sind positive reelle Zahlen.

Man bestimme die Lagrangefunktion des Systems und leite die Bewegungsgleichungen her.
Man untersuche das System auf seine Gleichgewichtslagen und überprüfe, ob diese stabil oder instabil sind.

Ich bin für jede Hilfe dankbar!!

Meine Ideen:

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Ins unreine: Mögliche Stabilität für V'(x) = 0 und V''(x) > 0 und damit

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Gesucht sind zunächst alle Gleichgewichtslagen

Bomi · Anmeldungsdatum: 22.07.2012 Beiträge: 8

Hallo franz,

kannst du mir das erklären, wie du auf dieses Ergebnis kommst!!

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Es fehlen noch die Lagrangefunktion und die entsprechende Bewegungsgleichung.
Ich habe mir nur das Potential

angesehen und Gleichgewichtsstellen gesucht

. Dafür gibt es drei Lösungen

.
Stabiles Gleichgewicht ist aber nur in "Potentialmulden" möglich, mathematisch bei relativen Minima. Dort muß zusätzlich

sein, was nach meiner Rechnung bei

klappt. Bei

ist ein relatives Maximum, ein "instabiles" Gleichgewicht(?).

Bomi · Anmeldungsdatum: 22.07.2012 Beiträge: 8

Das ist auch das, was ich gedacht hatte.
Wenn man die Funktion plottet, gibts ja ein "W-Potential" und bei 0 sollte eine instabile Gleichgewichtslage sein.

Wie wir diese Art bisher gelöst hatten, war eben die Bewegungsgleichung herzuleiten, und dann mit einer kleinen Störung/Auslenkung mittels Linearisierung zu überprüfen, welche Lagen stabil und welche es nicht sind.

Die Lagrangefunktion hab ich, sollte so aussehen:

Wenn ich das in die ELG gebe, komm ich auf folgendes:

Wie ich von da aus weiterkomme, ist mir nicht klar!

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Du brauchst nicht "weiterkommen". Es ist oben die Aufstellung der Bewegungsgleichung gefordert - nicht deren Lösung!

Bomi · Anmeldungsdatum: 22.07.2012 Beiträge: 8

Stimmt hast Recht.

Was ich meinte ist, wie ich von der Bewegungsgleichung auf die Gleichgewichtslagen mittels Linearisierung(so hatten wir das bisher gemacht) komme.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

OK, dann betrachten wir kleine Bewegungen um die o.a. Stabilitätspunkte, also eine lineare Näherung für die auftretende Kraft.

Also gewissermaßen eine rücktreibende "Feder"kraft nahe der Stabilitätspunkte.

annaaa1234 · Anmeldungsdatum: 01.08.2012 Beiträge: 1

wieso müssen lambda und my überhaupt aus den positiven reellen zahlen sein?[/code]

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Aufgabenstellung. Punkt.