2te Ableitung des Ortsvektors in Kugelkoordinaten

Half · Anmeldungsdatum: 18.11.2012 Beiträge: 2

Hallo,
ich möchte ein Beispiel Lösen in dem ich Kugelkoordinaten verwende und die 2te Ableitung eines gegebenen Ortsvektors benötige.

Ortsvektor:

Für die erste Ableitung (mit Hilfe von Ketten u. Produktregel) von

bekomme ich dann wie auch in der Literatur nachgeschlagen:

Wobei ich

und

in der Ableitung von

gefunden habe.

Mein Problem ist jetzt die 2te Ableitung

Die Lösung ist eine ziemlich lange Wurst, weshalb ich sie auch nicht hier hineinschreibe. Allerdings komme ich nicht auf die Lösung in der Literatur.
Beim Ableiten der Einheitsvektoren ergeben sich aus

und

immer einer der anderen Einheitsvektoren mal irgendwelchen Ableitungen or Winkelfunktionen, doch bei

gelingt es mir nicht die Ableitung durch die beiden anderen Basisvektoren auszudrücken und mir bleibt ein Vektor

über.

Ich vermute das ich einfach irgendetwas grundlegendes bei der Koordinatentransformation nicht verstanden habe... vielleicht kann mir jemand nocheinmal grob erklären wie ich hier vorgehen soll.

lg,
half

Jannick · Anmeldungsdatum: 25.07.2012 Beiträge: 107

Da die Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten eine orthogonale Basis sind laesst sich jeder Vektor a eindeutig durch sie darstellen und zwar durch

wobei <> das Skalarprodukt darstellt. Das Skalarprodukt ist somit eine Projektion auf den entsprechenden Vektor.
Ich komme dann auf

Half · Anmeldungsdatum: 18.11.2012 Beiträge: 2

Hallo Jannick,
vielen Dank für deine Antwort, so komme ich auf das richtige Ergebnis.