Biegetheorie: Baumast unter Schwerkraft

MeBabaMeWhirl · Gast

Hallo zusammen,
ich bin von Natur aus Mathematiker, habe quasi seit der 6ten Klasse nichts mehr von Physik gehoert und wuerd gerne um etwas Rat zu folgendem Problem bitten:
Gegeben ist ein Baumast auf den keine Schwerkraft wirkt, und der durch folgende Informationen charakterisiert wird: Eine diskrete Menge von Punkten

, die die Mittelpunkte seiner kreisfoermigen Querschnitte (senkrecht zur Wuchsrichtung) markieren, sowie die Radien

dieser Mittelpunkte. (

ist der Punkt auf dem Stamm, an dem der betreffenden Ast abzweigt,

sein Endpunkt).

Der Polygonzug durch die gegebenen Punkte ist so gutartig, wie es ein natuerlich gewachsener Ast halt sein kann, aber ansonsten nicht besonders festgelegt, weder sind die Punkte notwendigerweise auf einer Linie, noch in einer (zum horizontalen Boden senkrechten) Ebene. Jedem Punkt ist jeweils eine entsprechende Masse

zugeordnet, die der Einfachhalt wegen auch in diesen Punkten konzentriert sind.

Meine Frage ist, wie berechne ich die Punkte

, die den Ast unter Einwirkung der Schwerkraft beschreiben.

Ich erklaere mal anhand eines Artikels, den ich vorhin gelesen habe, und der das Problem fuer den Fall abhandelt dass die Astpunkte in einer Ebene liegen, die zum Boden senkrecht ist, was ich weiss:

img543.imageshack.us/img543/9101/bending.png

Aus den

kann ich die lokalen Kruemmungen

ableiten. Im Uebrigen ist der Winkel, den der Ast bei

mit nem Stamm einschliesst bekannt.
Nach Timoshenko wird die Kruemmungsaenderung durch den Einfluss der Schwerkraft durch

beschrieben, wobei

das 'second moment of area', und E der modulus of elasticity (den ich auch als bekannt voraussetzen kann).

Wie im Bild sei

die Projektion von

auf den Boden.

Das Biegemoment

ist gleich

, wobei

die Position des center of mass desjenigen Teils des Stammes, der "nach"

kommt (d.h. von

bis

), und

die Masse in diesem center of mass.
Diese letzten beiden Werte werden induktiv vom Ende des Asts bei

bis zu seinem Anfang berechnet als:

Auf diesem Wege kann man jetzt nach und nach vom Ende des Asts aus bis zu seinem Anfang die schwerkraftbedingten Aenderungen der Kruemmungen ausrechnen und daraus die neuen Punkte berechnen.

Ich bin bereit das alles so hinzunehmen (obwohl ich intuitiv eher

statt

vermutet haette (?) ).
Allerdings ist mir nicht klar, wie ich das verallgemeinere fuer den Fall, dass die Punkte eben nicht in einer (wie im Bild der X-Z-)Ebene liegen. Ein paar Gedanken, das Prinzip von oben zu verallgemeinern habe ich mir versucht zu machen, es kam bisher aber nur Murks raus, den ich nicht fuer postenswert halte.
Danke fuer euer Hilfe!

MeBabaMeWhirl · Gast

Hat sichs mal jemand ernsthaft durchgelesen? Ist es vielleicht doch viel schwerer als ich mir denke? Die Info wuerde mir auch schon weiterhelfen.