Boltzmann- vs. Fermi- und Bose-Statistik

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Hallo,

die Zustandssume der Fermi- und Bose-Statistik unterscheiden sich nur durch ein Vorzeichen:

Hingegen ist die Zustandssumme der Maxwell-Boltzmann-Verteilung gegeben durch:

Im Skript steht, dass für große Energien und hohe Temperaturen sowohl die Fermi- als auch
die Bose-Statistik in die Boltzman-Statistik übergeht. Wie sehe ich das denn an den Zustands-
summen? Oder sieht man das nur an den Verteilungsfunktionen? Was mir auch nicht so recht
klar ist: Wiki schreibt, dass sich die Boltzmann-Verteilung ein kanonisches Ensemble repräsen-
tiert. Im Skript haben wir sie allerdings aus der großkanonischen Zustandssumme Z_G herge-
leitet. Ist also beides möglich? Ich bin leicht verwirrt ...

Grüße!

Yildirim · Gast

Hallo
Ich glaube bei deinen Gleichungen ist etwas schief gelaufen, aber ich weiß ja was damit gemeint ist

Um den Übergang von Einstein-Bose- und Fermi-Dirac-Statistik zu beschreiben, genügt es den Faktor:

zu betrachten
Dieser geht in den Boltmann-Faktor über, wenn
[url]\beta(\epsilon-\mu)>>1[/url] weil dann die 1 im nenner gegen die e-funktion vernachlässigt werden kann.
Die Temperatur steckt sowohl im

als auch im

.
Außerdem ist das

auch von der Fermienergie und damit von der Teilchendichte abhängig. Der Übergang wird nicht durch die Temperatur allein sondern auch durch die Teilchendichte bestimmt. Deshalb kann man Festkörper nicht mit Boltzmann-Statistik berechnen.
Als Abschätzung kann man die Fermitemperatur Tf=Ef/kb
mit Ef als Fermienergie und kb als boltzmann-Konstante, verwenden.
Für Metalle beträgt diese Temperatur typischerweise um die 10000K
Also ist man normalerweise weit unterhalb der fermitemperatur, so dass in metallen fermi-statistik verwendet werden muss.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

In der Tat hätte ich erwähnen sollen, dass bei mir gilt:

Desweiteren habe ich mich in meinem Skript vertan:
Die Verteilungsfunktionen unterscheiden sich nur durch
ein Vorzeichen, bei den großkan. Zustandssummen gilt aber:

Bei der großkan. Zustandssumme für die MB-Statistik bin ich mir
formal aber sicher. Daher ja meine Frage, wieso man anhand
dieser sehen kann, dass die großkan. Zustandssumme
der MB als Näherung zu der der BE betrachtet werden kann.

Sorry, habe Wirres geschrieben ... aber ist wohl, so wie bei deinen
Ausführung auch, nur eine rein mathematische Überlegung.