Vektorpotential unendlich langer Draht

Gast1234 · Gast

Meine Frage:
Guten Tag,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

(i) Zeigen Sie expliziet, dass das Magnetfeld

eines unendlich langen Drahtes gegeben ist durch:

Bestimmen Sie zunächst die Stromdichte

.

(ii) Berechnen Sie das Vektorpotential

im Abstand s von einem unendlichen geraden Draht, in dem ein konstanter Strom

fließt. Überprüfen Sie, dass

und

gilt.

(iii) Finden Sie das magnetische Potential innerhalb eines Drahtes, wenn der Draht einen Radius

hat und der Strom homogen ist.

Meine Ideen:
Die Aufgaben habe ich wie folgt gelöst:

(i)
Der Draht sei parallel zur z-Achse:

Mit Biot-Savart bekommt man dann:

wobei das Integral

ergibt, wie es sollte.

(ii)
Hier habe ich eine Frage. Das Vektorpotential kann nicht mit:

bestimmt werden, da das Integral divergiert. (Da kommt ein ln raus.)

Ich habe diese Aufgabe dann mit

in Zylinderkoordinaten gelöst:

Mit

da

und

. Außerdem ist

nur abhängig von

und hat nur eine

-Komponente. Die Rotation in Zylinderkoordinaten vereinfacht sich dann zu

und man bekommt:

mit

Nun finde ich die Aufgabe

zu lösen etwas sinnlos, da ich ja bereits das Potential durch die Gleichung bestimmt habe und diese deswegen offensichtlich stimmen sollte. Außerdem ist

ebenso offensichtlich, da das Potential nur eine

-Komponente hat, die nicht von z abhängt.

Gibt es noch eine bessere Möglichkeit das Vektorpotential zu berechnen, ohne so viel Argumentation zu betreiben und schon die Rotation zu verwenden, die im nächsten Schritt gezeigt werden soll? Habe ich mich eventuell mit dem Integral vertan und es divergiert doch nicht. Ich finde die letzten Unteraufgaben der (ii) sonst nicht sehr sinnvoll.
Ich habe auch versucht

durch die Poissongleichung zu bestimmen, aber ich weiß nicht wie ich die Stromdichte in Zylinderkoordinaten angebe, bzw. wie die Delta-Distribution aussieht. Außerdem hatten wir diese bis jetzt nur im kartesischen.

Es wäre nett, wenn jemand eine Idee hätte wie ich das Potential sonst noch bestimmen könnte. Sind meine Überlegungen überhaupt richtig?
Danke schon mal.

MfG

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Der Trick ist, dass du erst mit endlichen Grenzen z.B. L rechnest. Wenn du dann das Integral gelöst hast, kannst du den Grenzwert für L gegen Unendlich betrachtet und dieser divergiert nicht.

Gast1234 · Gast

Hallo pressure,
danke für deine Antwort. Bezieht sich deine Angabe auf den Aufgabenteil (i) oder (ii) ?
Das B-Feld in der (i) habe ich auf die Art die du beschrieben hast berechnet, quasi durch Grenzwertbildung mit

, nachdem ich das Integral berechnet hatte.
Bei der (ii), wo man das Vektorpotential berechnen soll, bekomme ich allerdings bei dem Integral über

einen Logarithtmus (ln) raus, wie ich auch bei meiner anderen Methode raus habe. Der Logatithmus divergiert allerdings für

bzw. ist gar nicht definiert. Habe ich vielleicht vergessen die Grenzen anzupassen? Oder kann ich das Potential noch einfacher berechnen.

Was ist bei (iii) mit homogenem Strom gemeint? Kann ich die Stromdichte mit

ansetzen?