Rolle an Feder

heinfried · Anmeldungsdatum: 15.10.2012 Beiträge: 16

Servus,

hab hier folgende Aufgabe:
Hab vier Abbildungen a-d. a-c sehen so aus, dass da eine Rolle mit ner Feder verbunden ist, wobei das System horzontal aufm Boden schwingt. Im Falle von a soll sie gleiten, im Fall von b rollen (ohne zu gleiten).
Bei c ist die Rolle zusätzlich mit ner zweiten Feder verbunden und bei d ist der Boden um den Winkel alpha geneigt (nur eine Feder). Auch für c und d soll sie rollen(ohne zu gleiten).
Ich soll für alle Abb die Schwingungsdauer bestimmen. a ist klar: w=wurzel D/m. Bei den restlichen bin ich mir unsicher. Es sollte jedenfalls iwo das Trägheitsmoment der Rolle mitdrin sein, das ist mir klar.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Bei Schwingungsproblemen bietet der Energieerhaltungssatz oft eine gute Lösungsmöglichkeit, d.h. du stellst eine Formel für die Gesamtenergie auf, leitest sie ab und forderst, dass das null wird. Da kannst du die kinetische Energie, die in der Rolle steckt

mit berücksichtigen.

Ich glaube auch gar nicht, dass ein newtonscher Ansatz hier greift, da man zu wenig über die Zwangskräfte weiß (die ja immerhin nichtholonom sind).

heinfried · Anmeldungsdatum: 15.10.2012 Beiträge: 16

der EES wäre dann: E_ges = E_p + E_k = 1/2 Dx² + 1/2 Jw² . Verstehe nicht ganz nach was und wie ich jetzt ableiten soll. Dachte die Kreisfrequenz ergäbe sich eben nur aus der Differenzialgleichung, sprich Bewegungsgleichung.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Du hast den Translationsterm vergessen. Ich meinte das so:

.

Wenn das Teil jetzt zum Beispiel rollt, gilt

(Zwangsbedingung), und wir haben

Energie ist erhalten (im Inertialsystem zumindest), d.h. ihre Zeitableitung ist null.

Jetzt kannst du durch x-punkt teilen und hast deine Bewegungsgleichung:

Und damit wüsstest du dann

.

PS: Oben war mit

die Winkelgeschwindigkeit gemeint, nicht die Kreisfrequenz. Hier unten ist omega die Kreisfrequenz.

heinfried · Anmeldungsdatum: 15.10.2012 Beiträge: 16

ah ok. Hatte nicht an den Zusammenhang v = w * r gedacht.
Muss ich dann bei d) noch die potentielle energie berücksichtigen mit E = mgh, wobei h = x * sin alpha?

wie berücksichtige ich die zweite Feder bei c) ?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich glaube, ich muss mich korrigieren: ein newtonscher Ansatz ist doch möglich, wenn auch nicht besonders sinnvoll. Mir fiel plötzlich ein, was ich im Landau gelesen hatte, als ich eigentlich nach dem D'Alembertschen Prinzip sehen wollte.

Das Prinzip ist, dass man irgendeine (unbekannte) Zwangskraft am unteren Teil der Rolle annimmt, nennen wir sie Z. Aus den kompletten Gleichungen für Kraft und Drehmoment sowie der Zwangsbedingung wird dann das Problem lösbar.

Kraft:

Drehmoment:

Zwangsbedingung (Vorzeichen entnimmst du der Skizze):

Drehmoment wird damit zu:

Und somit Kraft:

Damit kommt man auf dasselbe Ergebnis. Aber warum soll man eine Hilfsgröße einführen, wenn es auch ohne geht? Besonders elegant ist es nicht. Aber möglich ist es.

heinfried · Anmeldungsdatum: 15.10.2012 Beiträge: 16

ok. danke erstmal für die zwei guten erklärungen.

bei c) sind einfach links und rechts ne Feder, so dass die Rolle zwischen ihnen schwingen kann. Sagen wir einfach dass eine Feder k_1 und die andere k_2 hat. iwie müssen in dem Fall ja die zwei Federkonstanten in der Kreisfrequenz auftauchen, oder etwa nicht.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich würde mal davon ausgehen, dass die beiden Federn Einfluss haben. Wenn du es genau wissen willst, musst du wohl die Aufgabe rechnen. Tanzen

Beim Kraftansatz würde ich ansetzen:

. Der Rest geht genauso.

EDIT: Entschuldigung, d ist der Abstand zwischen den Ruhelagen(!) der Federn.

heinfried · Anmeldungsdatum: 15.10.2012 Beiträge: 16

Ich habe nochmal versucht die Aufgabe d) zu berechnen, mit der schiefen Ebene.

Wenn ich da den Ansatz mit dem EES mache, wie bei b), muss ich ja zsätzlich die potentielle Energie betrachten, die in dem Fall lautet: E=mgh mit h = x * tan alpha. (x ist die waagrechte Strecke der Ebene)

So wie du es oben erklärt hast musste man nach dem Ableiten durch x-Punkt teilen. Wenn ich aber den Term der pot E durch x-Punkt teile, in der ja nach dem Ableiten kein x-Punkt über bleibt (da die Ableitung von x ja 1 ergibt), hab ich dann in meiner Bewegungsgleichung noch ein x-Punkt im Nenner stehen. Ich hoffe du verstehts was ich meine.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Du musst nach der Zeit ableiten, nicht nach x. Hier stehst du allerdings vor einem ganz anderen Problem. Als Bewegungsgleichung erhält man

Hier hast du eine Inhomogenität (falls du interessiert bist: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525 ). Du brauchst noch eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Wie wäre es denn da mal mit einer konstanten Lösung (nämlich der Gleichgewichtslage)? Die erhältst du mit

. Dann ist die rechte Seite null und die linke Seite sowieso, weil die Ableitung einer konstanten Funktion ist ja auch null. Damit weißt du, dass die Lösung dieser DGL lautet

An der Frequenz ändert die Gravitation aber nichts. Sie verschiebt einfach nur die Ruhelage etwas. Das kennt man ja: wenn du eine Feder vertikal schwingen lässt, ändert sich an der Frequenz nichts. Sie wird nur etwas mehr gedehnt.