Gebundene Lösungen Zentralpotential

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Hallo,
ich habe eine Frage zum Zentralpotential. Ich soll zunächst die Gesamtenergie eines Teilchens im Zentralpotential in ebenen Polarkoordinaten angeben und das ganze dann in kinetische Radialenergie und effektives Potential aufspalten. Wir haben jedoch die Formel bereits in der Vorlesung hergleitet also schreibe ich:

Wobei der erste Term die Radialenergie angibt und in der Klammer das effektive Potential steckt.
Der Zweite Teil der Aufgabe lautet:
Wann gibt es gebundene Lösungen? Geben Sie die entsprechende Bedingung für ein allgmeines Potential V(r) an.
Leider wurde nur ganz knapp angesprochen was gebundene Lösungen sind aber soviel wie ich verstanden habe sind es jene Lösungen in denen die Gesamtenergie des Teilchens größer ist als das effektive Potential aber immernoch kleiner null. Also habe ich aufgeschrieben:

Ist das so richtig?

Die nächste Frage baut darauf auf: Warum existieren im Keplerproblem

nur für

gebundene Lösungen.
Mathematisch habe ich es mir mit der Bedingung davor versucht zu erklären. Wenn alpha gleich null ist gibt es kein Potential was das Teilchen in einer Bahn halten könnte. Wenn alpha kleiner als null ist, dann ist die obige Ungleichung niemals erfüllbar, weil alle Terme in der Klammer positiv und größer null sind, also existiert auch keine Lösung. Kann man das so folgern?

Und zu guter letzt die wichtigste Frage: Für welche Parameterwerte a, c ist im Potential

gebundene Bewegung möglich?

Hier habe ich nicht die leiseste Ahnung. Wenn ich dieses Potential in die obige Ungleichung einsetze, dann bekomme ich nichts gescheites raus. Mir ist nicht ganz klar, wie ich gleichzeitig eine gute Bedingung für beide Parameter herausbekommen kann.