Integralausdruck für die Periodendauer eines Fadenpendels

MaxderMathematiker · Gast

Meine Frage:
Aloha liebe Physikfreunde,

mir stellt sich eine Aufgabe, die für meine Begriffe leicht anfängt aber am Ende einen schwierigeren Twist enthält. Vielleicht stehe ich aber auch einfach nur auf dem Schlauch.
Ich soll:
1. Bewegungsgleichung für ein Fadenpendel aufstellen und lösen (für kleine Auslenkung)
2. Die Gesamtenergie des Pendels für beliebige Auslenkungen bestimmen.
3. Den Ausdruck für die Energie nach der zeitlichen Ableitung der Auslenkung auflösen und dann einen Integralausdruck für die Schwingungsdauer finden.

Meine Ideen:
1. Ist recht einfach. Ich spare hier mal den ganzen Rechenweg aus und schreibe nur die Bewegungsgleichung auf

dabei sind A und d Konstanten, die von den Anfangsbedingungen abhängen.
2. Es gilt ja:

Epot entspricht hingegen der Auslenkung, mal genommen mit der Kraft, also:

Insgesamt also:

Und demnach dann:

Stimmt das bis dahin?
Wenn ja, wie komme ich dann daraus auf einen Ausdruck für die Schwingungsdauer. Die wäre doch anderweitig viel einfacher zu berechnen. Indem man sich die 2pi Periodizität des cos zu Nutze macht oder so.
Wäre echt dankbar, wenn mir jemand helfen könnte. Da stockt's nämlich gerade bei mir sehr.