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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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 Jayk Verfasst am: 25. Nov 2013 20:17 Titel: Erzwungener gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Meine Frage:
Es geht um den erzwungenen harmonischen Oszillator, genauer um das Vorzeichen der Amplitude der Lösung x(t) [in der Nähe der Resonanzfrequenz].
Meine Ideen:
Ausgangspunkt ist  .
Aufgabe war es (u.a.), eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL zu bestimmen über den Ansatz  = A \cos ( \omega t + \delta )) . Dann folgt  \cos \omega t = (\omega_0^2-\omega^2 ) \cos (\omega t + \delta ) - \gamma \omega \sin ( \omega t + \delta ))
Nun wende ich Additionstheoreme an und dividiere durch den Cosinus von  :
 (\cos \delta - \tan \omega t \sin \delta) - \gamma \omega (\tan \omega t \cos \delta + \sin \delta))
Da die linke Seite zeitunabhängig ist, muss die rechte Seite auch zeitunabhängig sein:
 \sin \delta = \gamma \omega \cos \delta \quad \Longrightarrow \quad \tan \delta = \frac{- \gamma \omega}{\omega_0^2 - \omega^2}) .
Nun, da die zeitabhängigen Terme "eliminiert" sind, müssen die zeitunabhängigen übereinstimmen:
 \cos \delta - \gamma \omega \sin \delta)
Nun teile ich durch den Cosinus von delta:
 - \gamma \omega \tan \delta = (\omega_0^2 - \omega^2) + \frac{\gamma^2 \omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2})
Als Hinweis wurde noch gegeben: 
Damit folgt
^2}} = (\omega_0^2 - \omega^2) + \frac{\gamma^2 \omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2})
^2}} = (\omega_0^2 - \omega^2) + \frac{\gamma^2 \omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2} = (\omega_0^2 - \omega^2) \left( 1 + \frac{\gamma^2 \omega^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2} \right))
^2 + \gamma^2 \omega^2}})
Das deckt sich wunderbar mit dem, was zum Beispiel im Landau/Lifschitz dazu steht. Die Punkte gab es dafür natürlich, allerdings mit dem Hinweis, dass der Lösung noch der Faktor ) fehlt, da die als Hinweis gegebene Identität  so eben nicht ganz stimmt (diese war auch als Hinweis gegeben). [EDIT: Ich merke, das ist auch ziemlicher Blödsinn, aber das hat er gesagt...]
Auf der einen Seite klingt das plausibel, denn ich erinnere mich dunkel, dass in der Experimentalphysik darüber gesprochen wurde, dass in der Nähe der Resonanzfrequenz ein Phasensprung auftritt (war jedenfalls mein erster Gedanke). Andererseits habe ich die Identität für den Sinus ja gar nicht verwendet und dem Cosinus dürfte das ja ziemlich wenig machen. Außerdem lässt die Tangensabhängigkeit von delta ja selbst "Spielraum" für Sprünge. Und wenn ich mir das bei Excel mal ansehe, passiert das auch.
Abgesehen davon: Landau fehlerhaft!?^^ (In meiner Ausgabe sind die Seiten 94ff relevant)
Ich bin jetzt schon etwas verwirrt. Wie gesagt, es geht nicht um die Punkte, denn die gab es, aber ich wüsste schon gern, wie es jetzt richtig ist. |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 25. Nov 2013 22:54 Titel: Re: Erzwungener gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Hallo,
ist irrelevant, da im Nenner für die Amplitude das Quadrat des Terms
) steht. Und das Quadrat ist bekanntermaßen immer positiv und damit auch die Amplitude.
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 25. Nov 2013 23:37 Titel: |
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Hallo erkü,
die Korrektur sah in etwa so aus:
}}}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}})
Das ist irgendwie gerade verwirrend. Vor allem fände ich eine Vorzeichenunterscheidung bei beiden Identitäten weder logisch, noch sind sie bei QtiPlot auf dem Intervall [-100,100] nachweisbar...
Wo genau fehlt denn ein Schritt (ob relevant oder nicht)? |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 26. Nov 2013 14:11 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | Hallo erkü,
die Korrektur sah in etwa so aus:
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Aha !
"A" war für mich der Amplitudenbetrag.
Die Formel
beschreibt die Phasendifferenz zwischen Kraft und Elongation. Üblicherweise wird umgekehrt definiert:
Phase zwischen Elongation und Kraft 
Deshalb das Produkt mit
)
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 26. Nov 2013 18:00 Titel: |
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Und wo genau kommt dieser Faktor jetzt her?
Wie gesagt, die Terme beziehen sich auf die Kraft  = f \cos \omega t) und die Elongation  = A \cos (\omega t + \delta )) . |
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jmd2
Gast
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| jmd2 Verfasst am: 26. Nov 2013 18:16 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
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Hier kann man erkennen,daß bei 
der Ausdruck negativ wird (delta ist dann >0)
Bei deiner weiteren Rechnung wird das Minus dann wegquadriert
Die Funktion müßte aber so aussehen
)
f / A = (\omega_0^2 - \omega^2) \cos \delta - \gamma \omega \sin \delta) |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 26. Nov 2013 18:28 Titel: |
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| jmd2 hat Folgendes geschrieben: | Hier kann man erkennen,daß bei
der Ausdruck negativ wird (delta ist dann >0) |
Soweit klar. 
| Zitat: |
Bei deiner weiteren Rechnung wird das Minus dann wegquadriert |
Wie das? Tut mir leid, ich sehe gerade wirklich nicht, welche der Umformungen ein Vorzeichen kaputtmacht.
| Zitat: |
Die Funktion müßte aber so aussehen
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Wie kann das denn sein? Das würde doch heißen, dass der Fehler schon irgendwo davor war, oder? Also ist die Gleichung bereits falsch? |
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jmd2
Gast
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| jmd2 Verfasst am: 26. Nov 2013 18:45 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Also ist die Gleichung bereits falsch? |
Die ist nicht falsch weil man noch nichts über f/A weiß
Erst mit der Lösung muß man sich auf die obrige Gleichung besinnen
und überlegen unter welchen Umständen die auch negativ sein kann
Mit diesem Wissen habe ich das hingeschrieben
wo das Minus verschwunden ist kannst du sicher nachrechnen
Es ist halt hier nicht mehr da
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 26. Nov 2013 19:03 Titel: |
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Okay, ich glaube, ich habe den Fehler gefunden. Alles ist bis zum vorletzten Schritt richtig:
 \sqrt{1 + \gamma^2 \omega^2 / (\omega_0^2 - \omega^2)^2}})
doch das Unter-die-Wurzel-Ziehen ist falsch, weil  .
Danke für die Hilfe! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 26. Nov 2013 21:30 Titel: |
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Der Grund, dass man die sign-Funktion in vielen Behandlungen der angeregten Schwingung nicht sieht (wie z.B. im Landau) ist vermutlich schlicht, dass man sie "verstecken" kann, indem man (wegen der Perisodizitaet des Tan) den Winkel delta zwischen 0 und pi wählt, anstatt -pi/2 und pi/2.
Die sign-Funktion ist nämlich äquivalent zu einer Phasenverschiebung um ) . Wählt man den Arctan so dass er Werte zwischen 0 und pi liefert, ist dies äquivalent.
PS: Der physikalische Grund ist, dass der Winkel delta eine stetige Funktion von omega sein sollte. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 26. Nov 2013 21:47 Titel: |
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Also zusammengefasst:
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) : delta(omega) springt und die Signum-Lösung ist die korrekte. Die Identität  ist korrekt.
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) : delta(omega) ist stetig und die Lösung enthält kein Signum. Die Identität heißt korrekterweise  ,
womit der Hinweis des Tutors genau dann gilt, wenn die Begründung falsch ist. 
Vielen Dank! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 26. Nov 2013 22:06 Titel: |
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Meistens kommt man halt damit durch, wenn man Studenten auf die schnelle eine Antwort gibt ... manchmal nicht  |
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