Resonanz und Phasenkurve eines harmonischen Oszillators

Thomas84 · Anmeldungsdatum: 29.11.2005 Beiträge: 2 Wohnort: Leipzig

Hallihallo.
Hab folgendes Problem:
Gegeben sind die Resonanzkurve und Phasenverschiebung eines angetriebenen harmonischen Ozillators der Masse 1 kg
mit folgender Differentialgleichung:
ma+cv+Dx = F0 cos(Omega*t)
Soweit noch alles klar.

Jetzt soll man aus der Kurve der Phasenverschiebung die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung mit der Federkonstante D bestimmen.
Ich schätze mal des kann ich irgendwie ablesen, hab aber nicht die geringste Ahnung wie grübelnd

Und außerdem wird noch nach der Kraftamplitude F0
und der Abklingkonstante Delta=c/2m gefragt.

Wär super wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Hilfe

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ohne die Lösung vorweg zu nehmen:

Du kannst einen harmonischen Ansatz machen:

und diesen in die Diffgleichung des Oszillators einsetzen.

Du wirst eine Gleichung für die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Frequenz erhalten. Die Ungedämpfte Schwingung ist für C=0, woraus du alles erhältst.

Thomas84 · Anmeldungsdatum: 29.11.2005 Beiträge: 2 Wohnort: Leipzig

Danke. Hab jetzt alle Infos die ich brauche, hoff ich.
Zumindest entwirrt sich des ganze ein bißchen.

dachdecker2

Du wolltest doch die Resonanzfrequenz aus Amplituden- und Phasengang bestimmen. Im Amplitudengang ist die Resonensfrequenz genau dort abzulesen, wo das Maximum der Kurve liegt. Der Phasengang sollte für kleine Frequenzen 0° und für große -180° betragen. Bei der Resonanzfrequenz ist die Phasenverschiebung -90°.

Sollst du die beiden Kurven auch selbst zeichen oder sind die gegeben? Wenn du sie selbst zeichen sollst, würde ich vorschlagen, die Differentialgleichung nicht zu lösen, sondern Furierzutransformieren. Das erscheint mir zumindest viel einfacher.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Meinst Du mit Fouriertransformation den Übergang ins Komplexe ?

Ansatz:

...
...
Für die komplexe Schwingungsamplitude hätten wir dann:

Hier kann man den Amplituden- und Phasengang direkt ablesen.
Man sieht auch dass die Resonanzfrequenz ist:

wie man es in Physik anfangs lernt.

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

@Dachdecker2
Man löst die Dgl dann mithilfe der Fouriertransformation., zumindest findet man eine partikuläre Lösung durch die Fouriertrafo, die homogene kann man immer noch dazuaddieren.

@Problem
Fouriertransformieren braucht man hier aber nicht, die Funktion auf der rechten Seite enthält ja nur eine Frequenz, was in Frequenzraum einem Delta-Peak entspricht.
Deshalb reicht ein Ansatz

(Das i nicht vergessen !)
Das läßt sich wesentlich angenehmer handhaben als der rein reele Ansatz.

Kurz noch ein Wort zur Fouriertransformation:
Die Fouriertransformierte einer Funktion f(t) ist:

und die Unkehrung ist:

(Wo das 1/2Pi steht ist definitionssache, manchmal findet man auch bei beiden

)
Wenn du eine Dgl hast:

und nun

und

in die Dgl einsetzt, wird daraus:

Wenn du nun forderst, dass der Integrand verschwindet, hast du:

Das ist dann eine algebraische Gleichung und gibt dir eine Lösung der Dgl.

dachdecker2

hmm ich wollte eigentlich auf die logarithmischen Frequenzkennlinien (eben Amplituden- und Phasengang) hinaus, nicht auf die Lösung der Digfferentialgleichung. Ich sitz nu seit gestern daran und die Gleichungen werden immer länger ... das war wohl ein recht bescheuerter Vorschlag Augenzwinkern

. Ich brech das am besten ab ... da kann ich mich noch ein bisschen dem Waggon-Thread widmen Augenzwinkern

.