FAQ - Orbitale

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich möchte im Folgenden kurz beschreiben, wie man den Begriff des Orbitals als graphische Veranschaulichung der fundamentalen, quantenmechanischen Wellenfunktion erhält.

Wir betrachten zunächst die Wellenfunktion

sowie die Wahrscheinlichkeitsdichte

Nun identifizieren wir geschlossene Flächen im dreidimensionalen Raum, auf denen die Wahrscheinlichkeitsdichte einen jeweils konstanten Wert hat (ähnlich wie Höhenlinien auf einer zweidimensionalen Landkarte). Dadurch erhalten wir so etwas wie deformierte Zwiebelschalen, die den gesamten Raum dicht ausfüllen.

Nun wählen wir eine Wahrscheinlichkeit, z.B. 90%; der genaue Wert ist irrelevant, es handelt sich nur um eine Visualisierung. Nun beginnen wir beim Maximum (den Maxima) der Wahrscheinlichkeitsdichte, den Raum farbig auszumalen, und zwar immer eine Fläche nach der anderen, in der Reihenfolge absteigender Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei müssen wir getrennt liegende Bereiche gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte gleichzeitig ausmalen (im Falle der zweidimensionalen Landkarte würden wie ausgehend von den Berggipfeln Gegenden gleicher Höhe ausmalen).

Wir hören mit dem Malen auf, sobald die Aufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb des ausgemalten Bereiches gleich 90% ist (im Falle einer Landkarte hören wir mit dem Ausmalen Gegenden gleicher Höhe auf, sobald wir 90% der gesamten Landkarte ausgemalt haben).

Wir haben also einen Bereich definiert, der von einer oder mehreren Flächen gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte begrenzt wird und innerhalb dessen wir das Elektron mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% antreffen werden. Diesen so definierten Bereich bezeichnen wir als Orbital.

Wichtig:

Innerhalb eines Orbitals können sich ähnlich wie bei Zwiebelschalen ausgemalte und nicht ausgemalte Bereiche abwechseln; im Falle der Landkarte wären das konzentrisch gelegene Berge und Täler mit ausgemalten Gipfelregionen und nicht ausgemalten Tälern.

Auch außerhalb des Orbitals liegt eine nicht-verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit vor (z.B. 10%).

Man darf sich das Elektron nicht als Punktteilchen innerhalb des Orbitals vorstellen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Visualisiert man die Amplitude als Höhe, dann erhält man folgende Bilder

http://media-2.web.britannica.com/eb-media/83/5683-004-1BA01A0E.jpg

Verwendet man eine Farbcodierung, dann sieht das wie folgt aus

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/Hydrogen_Density_Plots.png

In beiden Fällen wurde nicht die komplexe Wellenfunktion selbst sondern nur das Betragsquadrat gezeichnet; die Wellenfunktion selbst wäre noch schwieriger darzustellen.

Einen räumlichen Schnitt durch die daraus resultierenden Orbitale findet man hier

http://www.orbitale.mathenvision.de/

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Mathematisch wählt man die Wellenfunktion zu n,l,m und betrachtet Flächen S mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte p auf S

Die Fläche S bzw. der dadurch begrenzte Raumbereich B zerfällt im Allgemeinen in miteinander nicht zusammenhängende Komponenten

mit den Volumenintegralen

so dass innerhalb der von den S_k begrenzten Raumbereichen B_k

eine gewisse Aufenthaltswahrscheinlichkeit vorliegt.

Die S_k und B_k hängen von p und natürlich von der gewählten Wellenfunktion ab. Aus der Vorgabe der Aufenthaltswahrscheinlichkeit P und Suche über die Flächen bzw. über die p folgt letztlich der Raumbereich B, d.h. das Orbital zu n,l,m: