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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21593
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 TomS Verfasst am: 30. Aug 2026 08:06 Titel: FAQ - Quantenfeldtheorie, Formalismus und Bedeutung |
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Nach den letzten Diskussionen zu QM / QFT und der (anschaulichen) Bedeutung oder Erklärung, hier nun FAQ-Beitrag, um das zusammenzufassen.
1) Ausgehend von klassischen Feldern konstruiere ich mittels kanonischer Quantisierung die entsprechenden Feldoperatoren. Ich stelle einige der Kernelemente des Formalismus dar, insbs. den Energie- bzw. Hamilton-Operator, der zugleich Generator der Zeitentwicklung ist. Ausgehend von 1-"Teilchen"-Fockzuständen konstruiere ich den zu einem Wellenpaket korrespondierenden 1-"Teilchen"-Zustand als Superposition. Zuletzt sage ich noch etwas zu einigen Erwartungswerten für diese Zustände, insbs. zu Energie- und Impulsdichten. Das ganze erfolgt für das reelle Skalarfeld als Spielzeugmodell für Photonen, d.h. ohne Antiteilchen, ohne Polarisation und ohne elektrische Ladung.
2) Bedeutung und Interpretation - in einem Folgebeitrag
A Klassische Feldtheorie
Die Lagrange-Dichte definiert die Dynamik. Daraus folgt der kanonische Impuls und per Legendre-Transformation die Hamilton-Dichte. Die Hamilton-Gleichungen sind äquivalent zu den Euler-Lagrange-Gleichungen, in unserem Fall die Klein-Gordon-Gleichung.
Lagrangedichte
^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 )
Kanonisch konjugierter Impuls
 = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi(x)} = \dot\phi(x) )
Hamilton- = Energiedichte
Die Hamilton-Dichte folgt mittels Legendre-Transformation
^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 )
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
 = \frac{\delta H}{\delta \pi(x)} = \pi(x) )
 = -\frac{\delta H}{\delta \phi(x)} = \nabla^2\phi(x) - m^2\phi(x) )
ineinander eingesetzt resultiert die Klein-Gordon-Gleichung
 \phi = 0 )
B Quantisierung
Felder werden zu Operatoren mit kanonischen Vertauschungsrelationen. Äquivalent dazu (via Modenentwicklung) erhält man Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren mit ihren eigenen Vertauschungsrelationen. Die Modenfunktionen u_p(x) vermitteln zwischen beiden Bildern – Feldoperatoren als Integral über Moden, Erzeuger/Vernichter als Projektion der Felder auf Moden (analog zur Fourier-Hin und -Rücktransformation). Orthonormalität und Vollständigkeit der Modenfunktionen sind mathematisch hinreichende Bedingungen.
Kanonische Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren
,\pi( y,t)] = i\delta^{(3)}(x- y) )
,\phi( y,t)] = [\pi(x,t),\pi( y,t)] = 0 )
Vertauschungsrelationen der Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren
,a^\dagger(q)] = \delta^{(3)}(p-q) )
,a(q)] = [a^\dagger(p),a^\dagger(q)] = 0 )
Modenentwicklung der Felder mit Umkehrung
Dies entspricht einer Verallgemeinerung der Fourier-Transformation für beliebige Modenfunktionen mit Orthonormalität und Vollständigkeit .
Modenfunktion
Für konkrete Berechnungen verwende ich ebene Wellen.
 = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3\,2\omega_p}} \,e^{i(p x-\omega_p t)} )
Die Normierung erfolgt dergestalt, dass das Integral über den 3-Raum mit dieser Normierung tatsächlich auf ein Skalarfeld führt, d.h. auf ein unter Lorentz-Tranformation invariantes Integral über die 4-dim. Raumzeit *.
Felder
Dargestellt mittels der Erzeuger und Vernichter:
 = \int d^3p \, \Big[ a(p) \, u_{p}(x) + a^\dagger(p) \, u_{p}^\ast(x) \Big] )
 = \dot \phi(x) = -i\int d^3p \, \omega_p \Big[ a(p) \,u_{p}(x) - a^\dagger(p) \,u_{p} ^\ast (x) \Big] )
Umkehrung mit Klein-Gordon-Skalarprodukt
 = i \int d^3x \,[f ^\ast \dot g - \dot f ^\ast g]) )
 = (u_{p},\phi) = i\int d^3x \,\Big[ u_{p} ^\ast (x)\,\pi(x) - \dot u_{p} ^\ast (x)\,\phi(x) \Big] )
 = -(u_{p} ^\ast ,\phi) = i\int d^3x \,\Big[ \dot u_{p}(x)\,\phi(x) - u_{p}(x)\,\pi(x) \Big] )
Orthonormalität
 = -(u_{p} ^\ast ,u_{q} ^\ast ) = \delta^{(3)}(p-q) )
 = 0 )
Vollständigkeit
 \,\dot u_{p} ^\ast ( y,t) - \dot u_{p}(x,t) \,u_{p} ^\ast ( y,t) \Big] = i\delta^{(3)}(x- y) )
Beides zusammen entspricht der Tatsache, dass sich jede Funktion des Funktionenraumes eindeutig mittels der gewählten Basisfunktionen darstellen lässt.
C Dynamik
Der Hamilton-Operator (ausgedrückt durch Felder phi und pi oder Erzeugern und Vernichter), generiert über die Heisenberg-Gleichungen eine Zeitentwicklung für Operatoren, die formal identisch zur hamiltonschen Bewegungsgleichungen der klassischen Feldtheorie ist. Energie- und Impulsdichte sind lokale (unintegrierte) Bilinearformen der Felder.
Hamiltonoperator
Im folgenden verzichte auf die Diskussion der Regularisierung bzw. Normalordnung; das unendliche Integral über die Nullpunktsenergien aller Moden wird ignoriert.
 \,a(p) )
Heisenbergsche Bewegungsgleichungen
 = i [H, \pi] )
Für beliebige Operatoren A:
 = e^{iHt} \, A_0 \, e^{-iHt} )
Energiedichte und Impulsdichte
 = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 )
 = - \pi(x) \,\partial^i\phi(x))
 \,=\, \int d^3p \,d^3q \Big[ \tfrac{1}{2}\big(\omega_p\omega_q+p q+m^2\big) \,u_{p} u_{q} \,a(p)a(q) + \text{h.c.}
<br />
+ \tfrac{1}{2}\big(\omega_p\omega_q+p q+m^2\big) \,u_{p}^\ast u_{q} \,\big(a^\dagger(p)a(q) + a^\dagger(q)a(p)\big) \Big] )
 \,=\, i\int d^3p \,d^3q \,\omega_p \Big[ a(p)a(q) \,u_{p}\partial^iu_{q} - a^\dagger(p)a(q) \,u_{p} ^\ast \partial^iu_{q}
<br />
+ a(p)a^\dagger(q) \,u_{p}\partial^iu_{q} ^\ast - a^\dagger(p)a^\dagger(q) \,u_{p} ^\ast \partial^iu_{q} ^\ast \Big] )
D.a 1-„Teilchen"-Zustände
Im folgenden betrachten wir Zustände, die (rein mathematisch) mittels Erzeugern aus dem Vakuum konstruiert werden, und die man als Ein-"Teilchen"-Zustände bezeichnet.
Fock-Zustände
Die Erzeuger und Vernichter je p wirken wie folgt auf den Vakuumzustand
Die Notation 1_p besagt, dass in diesem Zustand eine Mode zum Impuls p enthalten ist.
Superposition von 1-"Teilchen"-Fockzuständen
Zustände entsprechend Wellenpaketen werden dargestellt mittels allgemeiner, normierter 1-"Teilchen"-Zustände; diese entsprechen Superpositionen einzelner Fock-Zustände.
 \,a^\dagger(p) )
|^2 = 1 )
Mit der Normierung des dp-Integrals entspricht dies einem 1-"Teilchen"-Zustand, d.h. es liegt feste Teilchenzahl vor
 \,|1_f\rangle = 0 )
 \,|f(p)|^2 )
Energie (und Impuls) sind nicht scharf sondern entsprechend f(p) auf die Moden verteilt.
Erwartungswerte für Energiedichte und Impulsdichte
 = \int d^3p \,f(p) \, u_p(x) )
psi ist keine Wellenfunktion im Sinne der Quantenmechanik.
a(q)|1_f\rangle = f ^\ast (p)f(q) )
a(q)|1_f\rangle = \langle 1_f|a^\dagger(p)a^\dagger(q)|1_f\rangle = 0 )
|1_f\rangle = \int d^3p \,d^3q \,f(p)f ^\ast (q) \,\big[\omega_p\omega_q+p q+m^2\big] \,u_{p}(x)u_{q} ^\ast (x) )
|1_f\rangle = \int d^3p \,d^3q \,f(p)f ^\ast (q) \,\big(\omega_p q^i + \omega_q p^i\big) \,u_{p}(x)u_{q} ^\ast (x) )
speziell für ebene Wellen
|1_f\rangle \,=\, |\dot\psi(x)|^2 + |\nabla\psi(x)|^2 + m^2|\psi(x)|^2 )
|1_f\rangle \,=\, -\big[\dot\psi ^\ast (x)\,\partial^i\psi(x) + \dot\psi(x)\,\partial^i\psi ^\ast (x)\big] \,=\, -2\,\mathrm{Re}\big[\dot\psi ^\ast (x)\,\partial^i\psi(x)\big] )
D.b Kohärente Zustände
Zustände entsprechend klassischer elektromagnetischer Wellen (wie in einem Laser) werden durch sogenannte kohärente Zustände beschrieben …
Symmetrien
...
* Übergang von d^3p-Integral zu Lorentz-invariantem d^4p-Integral
Einschub einer 4-dim- delta-Funktion, die die Massenschale erzwingt
 = \delta\big(p_0^2 - p_i^2 - m^2\big))
Zerlegen der Delta-Funktion nach den Nullstellen in p_0 sowie Bedingung, dass p^0 > 0: nur die positive Lösung bleibt
\,\delta(p^2-m^2) = \frac{1}{2\omega_p}\,\delta(p^0-\omega_p))
damit
 = \int d^4p \,\theta(p_0)\,\delta(p^2-m^2) \,f(p)\Big|_{p^0=\omega_p}) |
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