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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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 Marko Verfasst am: 02. Mai 2014 21:39 Titel: Harmonische Schwingung, Exponentialansatz |
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Ich habe zwei Wege gesehen um aus der allgemeinen Lösung der DGL harmonischer Schwingungen (Exponentialansatz)
=c_{1}e^{i\omega*t}+c_{2}e^{-i\omega*t}) ,
 ist die imaginäre Einheit und  ,
auf die standart Bewegungsgleichung zu kommen.
1. Druch 2 Anfangsbedingungen, =x_{0}) und =0) . Wenn ) aber nicht gegeben ist komme ich nicht weiter ohne die Annahme  .
2. Über die Annahme und die Polardarstellung der komplexen Zahlen (ohne sonstige Anfangsbedingungen).
 und
=|c|(e^{i\omega*t+\phi}+e^{i\omega*t+\phi}))
=2|c|cos(\omega*t+\phi))
=Acos(\omega*t+\phi))
Warum brauche ich für den ersten Ansatz Anfangsbedingungen und für den zweiten nicht? Zudem bekomme ich noch Informationen zur Phasenverschiebung die ich aus dem ersten Ansatz nicht bekomme.
Ist der zweite Ansatz einfach besser und allgemeiner?
Mein eigentliches Problem ist, dass es bei den ganzen DGL'n der Schwingungen so viele Ansätze gibt die auf verschiedenen Wegen das gleiche oder ähnliche Ergebnis bringen. Kann man sagen dass es einen besten oder allgemeinsten Ansatz gibt? |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 02. Mai 2014 21:49 Titel: ... |
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Für eine homogene DGL zweiter Ordnung brauchst du immer 2 Bedingungen für die Parameter. Welche du nimmst - irrelevant. Im erst genannten Fall kannst du auch gar nicht weiterkommen, falls x(t=0) unbekannt ist, da du nur die Anfangsbedinung der Ableitung kennst. Dazwischen liegt eine Integration, was einen neue Konstante hinzufügt. Dieses Problem löst du dann (wie du sagst) über die Forderung einer realen Amplitude.
Und bei 2 trickst du  . Du hast doch dort auch wieder Anfangsbedinungen. Du führst einfach A und phi ein. Wenn du nun für t = 0 setzt hast du somit auch wieder Anfangsbedingungen definiert, ohne das du dir darüber bewusst warst.
Der allgemeinste Ansatz ist der imaginäre. Mit deiner Annahme über die komplexen Amplituden forderst du letztendlich nur das letztendlich reale Größen rauskommen. Das tust du aber indirekt auch mit deinen Anfangsbedinungen, da dies auch reale Zahlen sind.
Zuletzt bearbeitet von Dr.Sheldon.Cooper am 02. Mai 2014 21:57, insgesamt einmal bearbeitet |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 02. Mai 2014 21:55 Titel: |
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Ich komme mit dem 2. Ansatz auf die Bewegungsgleichung
ohne Anfangsbedingungen. Die Amplitude und der Phasenwinkel sind zwar unbestimmt aber die allgemeine Form steht da.
Während ich beim 1. Ansatz keine blassen Schimmer davon haben wie die Lösung aussehen könnte wenn ich keine Anfangsbedingungen habe. |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 02. Mai 2014 22:03 Titel: .... |
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Ich verstehe ehrlich gesagt die Frage nicht richtig.
Du hast ja im zweiten Fall auch Anfangsbedinungen eingeführt.
A und phi. Statt x(t=0) und die Geschwindigkeit bei t=0. Das ist völlig äquivalent. Wie schon gesagt 2 Parameter.
Falls es die Frage nicht löst, bitte einfach nochmal stellen.
Ich mein du hast im ersten Fall zwei Parameter und im zweiten genauso. Der imaginäre Ansatz ist wohl stets der elegantere. Mit der Forderung der komplexen konjugierten Zusammenhänge forderst du nur, dass die größen reell sind.
Das ist mehr Physik als Mathematik, da wir in einer Welt leben, in der wir eine Amplitude mit reellen Zahlen beschreiben. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 02. Mai 2014 22:17 Titel: |
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Dein überarbeiteter Beitrag hilft mir schon weiter, wenn ich Folgendes richtig verstanden habe.
 durch die Amplitude zu ersetzen ist streng gesehen nur richtig wenn ich dass auch durch eine Anfangsbedingung überprüfe ().
Dass das  aus  für die Phasenverschiebung steht ist auch erst klar wenn man es durch eine Anfangsbedingung prüft.
Wodurch wir wieder bei zwei Anfangsbedingungen wären? |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 02. Mai 2014 22:54 Titel: ... |
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Exakt. Du kannst entweder eine Amplitude und eine Phasenverschiebung angeben oder du machst das über eine Amplitude + Anfangsgeschwindigkeit.
In beiden Fällen hast du zwei Unbekannte die du fixieren musst. Auf abstrakter Ebene sind die Probleme also äquivalent.
Du wirst letztendlich durch keine Methode schlauer. Die Randbedingungen bestimmst immer du. Und das sind ganz allgemein bei homogenen DGL 2. Ordnung exakt 2 Parameter. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 02. Mai 2014 23:08 Titel: Re: ... |
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Vielen Dank schonmal, das hat mir sehr weitergeholfen.
| Dr.Sheldon.Cooper hat Folgendes geschrieben: | | Im erst genannten Fall kannst du auch gar nicht weiterkommen, falls x(t=0) unbekannt ist, da du nur die Anfangsbedinung der Ableitung kennst. |
Müssen die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t=0 sein?
Also mit den Bedingungen =x_{0}) und =0) würde ich nicht weiterkommen? |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 00:00 Titel: ... |
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Ja genau du brauchst die zwei Angaben zum gleichen Zeitpunkt.
Das wär z.b. in der Quantenmechanik nicht mehr möglich.
Wenn du zwei verschiedene Zeitpunkte wählst, kannst du keine Gleichung fixieren. Weder die für die Geschwindigkeit noch die für die Auslenkung. Denn auch in der Geschwindigkeitsgleichung befindet sich sowas wie die Auslenkung.
Das ist auch logisch. Wenn du einen Versuch startest und nur die Auslenkung misst, weißt du nichts über die dazu korrespondierende Geschwindigkeit und kannst nicht einschätzen, wo sich die Auslenkung in x Sekunden befinden wird. Die Messung der Auslenkung ist also nichtssagend oder eine einfache Momentaufnahme. Sagt dir aber nichts über die Entwicklung des Systems.
Das gleiche gilt für die Geschwindigkeit. Wenn du nur sie kennst und nichts über den Ort weißt, ist es auch nur eine Momentaufnahme des Systems.
Nur mit Ort und Impuls (zur gleichen Zeit) + der Bewegungsgleichung kannst du die Bewegung vorhersagen.
Es wäre allerdings möglich, dass du beide Größen bei t=2 misst. Aber das ist dir sicher klar. Denn damit könntest du über die Bewegungsgleichung die Größen bei t=0 retour-konstruieren und die Sache wäre äquivalent zur Angabe der Größen bei t=0.
Mit der Gleichung kannst du sowohl in die Vergangenheit als auch in die Zukunft blicken. Insofern du voraussetzt, dass das Pendel stets beim Schwingen war und der absolute Zeitpunkt des Anstoßens uninteressant ist. 
Gruß Sheldon |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
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| planck1858 Verfasst am: 03. Mai 2014 10:43 Titel: Re: Harmonische Schwingung, Exponentialansatz |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | 2. Über die Annahme und die Polardarstellung der komplexen Zahlen (ohne sonstige Anfangsbedingungen).
und
=|c|(e^{i\omega*t+\phi}+e^{-i\omega*t+\phi}))
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In der zweiten Gleichung hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Es muss wie folgt heißen, wenn du die Ausdrücke für die Polardarstellung in die komplexe allgemeine Lösung einsetzt.
=|c|\left[e^{i(\omega_0*t+\varphi)}+e^{-i(\omega_0*t+\varphi)}\right])
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 03. Mai 2014 11:01 Titel: |
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Ja richtig, da war ich unsauber.. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 03. Mai 2014 11:07 Titel: Re: ... |
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| Dr.Sheldon.Cooper hat Folgendes geschrieben: | | Ja genau du brauchst die zwei Angaben zum gleichen Zeitpunkt. |
Nein das ist falsch. Um die zwei Koeffizienten zu bestimmen genüge n zwei beliebige Angaben zu beliebigen Zeitpunkten. Da man dann zwei lineare Gleichungen hat die man Lösen kann. |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 11:47 Titel: ... |
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Ja stimmt du hast vollkommen Recht.
Da hatte mein Hirn zu später Stunde wohl einen Knoten. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 03. Mai 2014 15:16 Titel: |
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Ausgehend von der allgemeinen Lösung
habe ich mal verschiedene Anfangsbedingungen ausprobiert,
komme aber bei schwierigeren Bedingungen nicht weiter.
=5m\qquad v(t=4s)=4\frac{m}{s} )
)
)
Warscheinlich bringen hier Theoreme für sinus und kosinus weiter... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 03. Mai 2014 15:19 Titel: |
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Teil mal die zweite Gleichung durch die erste... |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 15:20 Titel: .... |
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Ja oder Expontentialdarstellung mittels komplexer Argumente. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 03. Mai 2014 15:28 Titel: |
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}{cos(\omega*3s+\phi)})
Ich weiß nicht wie ich den sinus bzw. den cosinus verarbeiten kann.
Bevor ich es komplex versuche würde ich gerne wissen ob es eine Möglichkeit im Reellen gibt. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 03. Mai 2014 15:42 Titel: |
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Oh sorry... hatte nicht gesehen, dass da verschiedene Zeiten stehen... das sieht in der Tat unschön aus... Dann musst Du in der Tat Additionstheoreme für Sinus und Kosinus anwenden...
Darum sollte man das lieber als  schreiben. Da kriegt man lineare Gleichungssysteme die man ohne viel Nachdenken Lösen kann. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 03. Mai 2014 18:54 Titel: |
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Ehrlich gesagt komme ich da auch nur holprig voran.
Hier meine Gleichungen
1. 
2. 
1. Gleichung multipliziert mit  2. Gleichung multipliziert mit  und 1. von 2. subtrahiert.
c_{2}=\frac{4\frac{m}{s}}{i\omega}e^{i\omega 3s}-5me^{i\omega4s} )
c_{2}=\frac{4\frac{m}{s}}{i\omega}e^{i\omega 3s}-5me^{i\omega4s})
Ist der letzte Schritt zulässig?
Wenn ja könnte ich noch beide Seiten durch  dividieren. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 03. Mai 2014 19:26 Titel: |
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Am Eliminieren liegt es nicht  steht im vorigem Post bereits alleine. Oder habe ich bereits beim Eliminieren einen Fehler gemacht?
Ich tue einfach mal so als wäre das richtig und mache weiter.
c_{2}e^{-i\omega 1s}=\frac{4\frac{m}{s}}{i\omega}e^{i\omega 2s}-5me^{i\omega3s})
c_{2}=\frac{4\frac{m}{s}}{i\omega}e^{i\omega 2s}-5me^{i\omega3s})
Da der Rechenaufwand kein absehbares Ende hat zu finden scheint, werde ich erstmal abbrechen.
Kann jemand meine Vermutung bestätigen, dass ich auf dem Holzweg bin? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 03. Mai 2014 19:28 Titel: |
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Offensichtlich liegt es daran, sonst könntest Du ja ohne Probleme nach c1 und c2 auflösen... |
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