Laguerre Polynome Ableiten

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Hallo,

Ich soll in meiner QM Übung ein bisschen mit den Laguerre-Polynomen spielen. Die Aufgabe an der ich hänge lautet:
Zeigen Sie, dass die Laguerre-Polynome

folgende Differentialgleichung erfüllen:

Nun habe ich mich daran gemacht die Formel abzuleiten:

Ich nenne mal zur Übersichtlichkeit den Teil in der Mitte der Summe Gamma:

Jetzt wollte ich mein Ergebnis in die Differentialgleichung einsetzen aber irgendwie hebt sich da nicht alles so weg wie ich will:

Da sehe ich leider nicht so recht, wie sich das wegheben soll.
Hat jemand einen Vorschlag wie ich vorgehen sollte?

Oh und bevor ich es vergesse: Ich habe so eine Rekursionsformel im Schwabl gefunden, die lautet:

Hatte erst überlegt ob sie mir weiterhilft aber ehrlich gesagt sehe ich noch nicht ein mal wie diese Formel mit meiner Ableitung zusammenpasst.

Namenloser324 · Gast

Deine Summengrenzen sind auch falsch. Beim Ableiten fallen k = 0 bzw k = 1 weg.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Das dürfte nicht das Problem sein, das steht doch dran. Für k=0 verschwindet L', für k=1 auch L''.
Deswegen steht ja das Produkt mit k beziehungsweise (k-1).

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Mir ist aufgefallen, dass laut Definition der Laguerrepolynome (http://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials#Recursive_definition.2C_closed_form.2C_and_generating_function) da nur ein r! stehen sollte, weil der Binomialkoeffizient als

definiert ist. Du müsstest also dein

ändern, aber weiter macht das erstmal nichts aus.

Laut http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum[%28-1%29^k*%28r!%29%2F%28%28k!%29^2*%28r+-+k%29!%29*x^k*%28k^2%2Fx+-+k+%2B+r%29%2C+{k%2C+0%2C+r}] gibt die Summe aber schon null, das ist richtig.
Theoretisch müsstest du die (-1)^k in positive (k gerade) aufteilen und negative (-1)^k ungerade und zeigen, dass die beiden Teilsummen sich dann wegheben. Vielleicht geht auch vollständige Induktion für r-> r+n, aber das hab ich alles noch nicht probiert.

escapado · Anmeldungsdatum: 08.05.2013 Beiträge: 49

Hey, danke für die Antworten.
Also das zusätzliche r! scheint irgendwie in der Physik manchmal eingebaut zu werden (zumindest findet man das mal so und mal so). In der Mathematik schreibt man das wohl nie hin. Aber ist ja spannend, dass die Summe wirklich null ist. Ich denke ich werde mal beide deiner Versuche probieren yellowfur. Danke auf jeden Fall!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Du musst die Summen einfach so zusammenfassen (-> Indizes umbenennen), dass dort steht

wobei die c_l nicht mehr von x abhängen. Dann kannst Du durch einfaches Umformen zeigen, dass alle c_l=0.