Aufstellen einer DGL - harmonische Schwingung (2 Fragen)

roggenfaenger · Gast

Meine Frage:
Hallo,

es geht um zwei Aufgaben, hier sind die dazugehörigen Bilder.
Die Aufgabe besteht darin, die zugehörige DGL aufzustellen.

D=Federkonstante

1) http://i.imgur.com/r00tTXE.jpg
2) http://i.imgur.com/EHZ1BNj.jpg

Meine Ideen:
zu 1)
wäre dies die richtige, dazugehörige DGL?

zu 2)
wäre dies die richtige DGL?

oder

..mir fällt es schwer, die Neigung richtig einzuordnen. Da keine Reibungskräfte wirken, müsste die Neigung doch wie eine ERZWUNGENE Schwingung auf das System wirken - deshalb müsste doch

richtig sein, oder?

Abgesehen davon: Wie würde ich diese inhomogene DGL lösen?
würde ich die Teile (homogen, inhomogen) getrennt betrachten und mit einem geeigneten Ansatz lösen?

Vielen Dank!

rf

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Erstmal zu 1.: Die DGL ist nicht richtig, denn du musst beachten, dass die Federn eine Ruhelage haben. Du hast also zwei Kräfte

Die Neigung bewirkt qualitativ dasselbe: einen zusätzlichen konstanten Kraftterm. Mathematisch sind also 1 und 2 völlig äquivalent.

Wie löst man das: Ich würde da einfach substituieren. Für

hast du nämlich gerade

,

also eine ganz harmlose harmonische Schwingung. Mit anderen Worten: Das Hinzufügen eines konstanten Kraftterms zu einer harmonischen Schwingung ändert nur die Gleichgewichtslage. Das kennst du ja auch sicher vom Federschwinger: Wenn man den vertikal schwingen lässt, wirkt immer die Gravitation zusätzlich. Die Schwingung bleibt harmonisch, nur mit einer anderen Ruhelage.

roggenfaenger_gast · Gast

Danke!
zu 1)
das "C" repräsentiert den konstanten Kraftterm. Für die erste Anordung würde doch gelten C=0, oder?
also:

zu 2)
nach der Substituon: Ich wähle einen Ansatz und löse

Wie und wo geschieht die Rücksubstitution? Bis jetzt habe ich in noch nie DGL auf diese Art gelöst, deshalb die Frage. Falls zu kompliziert - auch vernachlässigbar

[as_string: Ich habe Deine LaTeX-Korrektur gleich hier rein gebracht und den anderen Post gelöscht. So ok?]

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Nein, C ist nicht Null. Ich hätte vielleicht ausführlicher sein sollen. Aber du musst wirklich nur die beiden Kräfte addieren:

Die Gleichung

für eine Feder gilt ja, wenn x der Abstand zur Ruhelage ist. In der Situation von 1 gibt es aber keine gemeinsame Ruhelage für beide Federn.

Du hast dann also die Gleichung

. Die allgemeine Lösung kennst du:

. Rücksubstitution:

, also

Hast du schon einmal die Methode der Variation der Konstanten zur Lösung von inhomogenen DGLn gesehen?

roggenfaenger · Anmeldungsdatum: 03.02.2015 Beiträge: 2

Danke für die ausführliche Antwort.
Leider nicht.

Ich hätte wohl auch ggf. noch mehr zu der Aufgabenstellung sagen müssen - (SORRY!)
http://i.imgur.com/ZGxnUJe.jpg

das mit den konstanten Krafttermen verstehe ich jetzt.

Da in der Aufgabenstellung nach

gefragt wird, hätte ich diesen Ansatz gewählt:

Das ergibt nach einsetzen und kürzen:

(Zwischenfrage; negatives Vorzeichen...?)

als allgemeine Lösung hätte ich nun folgende aufgestellt (als Art Superposition)

nun hätte ich rücksubstituiert und

über die Anfangsbedinungen (s. Text)

bestimmt.

Ich habe so noch nie eine DGL gelöst und bin etwas verwirrt. Wahrscheinlich würde die Erklärung den Rahmen sprengen.
Außerdem suggeriert die Aufgabenstellung, dass die Bewegungsgleichungen a) und b) verschieden sind.