Harmonische Funktion (Holomorphe Fortsetzung)

HBX8X · Anmeldungsdatum: 07.11.2013 Beiträge: 159

Hallo, ich bereite mich auf eine Prüfung vor und bin etwas verwirrt da meine Lösung abweicht von der des Dozenten.

Aufgabe: Zeige das u(x.y)=2xy+(y^3)-3x^2 *y harmonisch ist und bestimmen sie eine fkt derart dass durch f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) eine holomorphe funktion definiert wird.

Meine Idee:

Laplace Operator auf u(x,y) anwenden ergibt Null <-> u( x,y) ist harmonisch -> Integrabilitätsbedingung erfüllt für eine holomorphe fortsetzung. Definiere das Vektorfeld

F=(-(du/dy) , du/dx). Bilde nun das Potential davon, denn das ist dann v(x,y):

Ergebnis v(x,y)=-3xy^2 + x^3 -x^2 +y^2 ergibt insgesamt u(x,y)+iv(x,y)=f(z).

Ist das alles richtig?

Musterlösung befindet sich im Anhang. Ich freue mich über jede hilfreiche Antwort.

HBX8X · Anmeldungsdatum: 07.11.2013 Beiträge: 159

Ups, ich glaube ich habe da etwas übersehen. Ich soll nämlich ausgehen von V diesesmal u bestimmen. Jemand eine Idee wie das analog funktioniert?

Edit : Ich habs! Ich muss einfach ein Potential zu (v_y,-v_x) bestimmen oder?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ob die Antwort richtig ist oder nicht, lässt sich ja einfach anhand der Cauchy-Riemann-DGL prüfen:

Soll:

Nachrechnen:

Also

Potential, Integrabilitätsbedingung... sagt mir alles nichts, sorry. Ich würde einfach die Cauchy-Riemann-DGLn (Integrabilitätsbedingung?) aufschreiben und diese lösen (Potential bestimmen?). So wie ich das sehe, ist das ja genau die Idee hinter dem Vektorfeld F.

Im konkreten Fall also
2 x y + y³ - 3x² y

Also

HBX8X · Anmeldungsdatum: 07.11.2013 Beiträge: 159

Danke, scheint mit meiner Idee übereinzustimmen!