Quantisierung nur kartesisch?

Neuling88 · Gast

Hallo
Nach meinem Selbststudium der Quantenmechanik habe ich gelernt, dass man klassische Variablen durch Operatoren ersetzen muss. Dies geschieht bspw. durch die Ersetzung der Orte und Impulse in der Hamiltonfunktion durch Orts und Impulsoperatoren.

Dies scheint aber nur zu funktionieren, wenn die Hamiltonfunktion in kartesischen Koordinaten formuliert ist.
Das ergibt für mich keinen Sinn. Wieso wird das kartesische System bevorzugt?

Es ergibt sich für mich ein weiteres problem.

bspw Hamiltonfunktion eines freien Teilchens

klassisch ist das beides dasselbe. Wenn ich nun zweiteres quantisiere und

als den Umkehroperator des Ortsoperators interpretiere, erhalte ich nicht dasselbe wie wenn ich erstes interpretiere.

Selbiges gilt wenn ich einen Operator
A(x, p)=xp=px habe.
In der Quantisierung ist es nicht dasselbe ob ich xp oder px quantisiere.
Woher weiß ich was richtig ist?

Meine Vermutung ist folgende:
Jeder Operator A(x, p) mit einer klassischen Entsprechung muss in die klassische Funktion übergehen, wenn man Orts und Impulsoperatoren durch klassische Orte und Impulse ersetzt. Umgekehrt gilt dies aber nicht zwangsläufig

Im Falle von

habe ich für jedes a und b dieselbe klassische Variable, erhalte aber immer andere operatoren und nur für ein bestimmtes (a, b) paar, erhalte ich den Operator, wie er für mein entsprechendes Problem auftritt.
Entweder gibt es ein mir unbekanntes weiteres "Rezept" um das richtige a und b rauszufinden oder man muss experimentell feststellen, welche Form für die Quantisierung genutzt werden kann. Denn klassisch sehen all diese Formen gleich aus, quantenmechanisch nicht. Also kann ich wahrscheinlich nicht allein von der klassischen Struktur auf die korrekte quantenmechanische Struktur schließen. Ich vermute, wenn man gar nichts weiß ist a=b=1 der naheliegenste Ansatz.

Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.

Danke schonmal

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21657

Das ist durchaus kompliziert.

Zunächst mal ist die Quantisierung klassische Theorie => quantisierte Theorie nicht eindeutig. Es gibt verschiedene Operatoren, die den selben klassischen Grenzfall haben; dazu gehören natürlich alle Operatorumordnungen. Man kann das also nicht ohne zusätzliche Annahmen lösen. Ich kenne zwei

1) Die Operatorordnung muss auf selbstadjungierte Observablen führen.

2) Man verwendet üblicherweise Symmetrieüberlegungen; klassische Symmetrien sollen im Zuge der Quantisierung erhalten bleiben. Dazu wird die klassische Theorie auf einer Mannigfaltigkeit mit Metrik g formuliert; damit können nicht nur nicht-kartesische Koordinatensysteme sondern generell gekrümmte Mannigfaltigkeiten behandelt werden. Der Hamiltonoperator wird mittels des Laplace-Beltrami-Operators konstruiert.

wobei der Nabla für grad bzw. div. steht.

http://de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinerter_Laplace-Operator#Laplace-Beltrami-Operator

Dieser Laplace-Beltrami-Operator hat natürlich koordinatensystemabhängige Darstellungen, ist jedoch insgs. koordinatensystemunabhängig.

Ich habe mich aber schon lange nicht mehr mit diesen Methoden befasst und muss auch erst nachlesen. Ich bin mir auch nicht sicher, ob es da nicht noch weitere Fallstricke gibt.