Levi-Civita-Symbol Kronecker-Delta Relation

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Meine Frage:
Hallo,

ich soll die folgende Identität zeigen:

und die Konstante c bestimmen.

Meine Ideen:
Ich vermute, dass c = 1 gelten soll.

Ich habe zunächst alle drei Summanden für k = 1,2,3 aufgeschrieben. Nun gibt es ja drei verschiedene Fälle für das Levi-Civita-Symbol:

bei mindestens zwei identischen Indizes hat dieses Symbol den Wert 0, bei einer antizyklischen Permutation den Wert -1 und bei einer zyklischen Permutationsfolge der Indizes nimmt es den Wert +1 an.

Es können also nur die Summanden 0 , 1 und -1 entstehen, verstehe ich das richtig?

Allerdings weiß ich immer noch nicht so recht, wie ich das geschickt notieren bzw. wie ich das Kronecker-Delta einbeziehen soll!

Viele Grüße
Widderchen

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Die konzeptionell einfachste Lösung ist einfach alle möglichen Kombinationen (ijlm) auszuprobieren und festzustellen, dass die Identität mit bestimmtem c stimmt.

Die am wenigstens arbeitsaufwendige (und eleganteste) Lösung, besteht darin zuerst zu argumentieren wieso entweder i=l oder i=m (analog j=m oder j=l) gelten muss, um nicht 0 zu erhalten, und dass der Ausdruck somit wegen der Antisymmetrie in (ij) und (lm) somit diese Form haben muss, und dann die Konstante c zu bestimmen.