Nahe der Erdoberfläche

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Hi,

Nahe der Erdoberfläche lässt sich ein Masseteilchen im Gravitationsfeld der Erde durch die Bewegungsgleichung

mit

g=const.

beschreiben. Hierbei sei ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, dessen z-Achse vertikal nach oben zeigt.

a)

Nehmen Sie an, dass das Teilchen im Koordinatenursprung mit der Anfangsgeschwindigkeit v_0=(v_0x,v_0y,v_0z) startet und berechnen Sie die Bahnkurve des Teilchens.

b)

Zeigen Sie, dass die Bewegung in einer festen Ebene erfolgt und berechnen Sie die Flächennormale der Bahnebene.

c)

Stellen Sie ein neues Koordinatensystem K' mit dem gleichen Ursprung auf, bei dem die x'-Achse durch die Anfangsgeschwindigkeit (aus a)) definiert ist. Geben Sie zunächst den neuen Einheitsvektor e_x' an und finden Sie anschließend einen dazu orthogonalen Einheitsvektor e_y' der zusammen mite_x' die zuvor berechnete Bahnebene aufspannt.

d)

Bestimmen Sie den noch fehlenden Einheitsvektor e_z', so dass e_x', e_y' und e_z' ein orthonormales rechtshändiges Koordinatensystem bilden.

Meine Überlegungen:

a)

Mit Hilfe der Separation der Variablen würde ich die DGL lösen.

Probleme treten erst ab Aufgabe b) auf.

Um Hilfe wäre ich sehr erfreut.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Da braucht man doch nicht gleich mit DGLs anfangen. Überlege doch zuerst, um was für eine Bewegung es sich hier handelt! Du hast schon häufig mit solchen gerechnet!

Du hast in z-Richtung eine konstante Beschleunigung und in die anderen Raumrichtungen eine konstante Geschwindigkeit. Da kann man doch schon alles ohne Rechnen hin schreiben.

Gruß

Marco

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Für die Bahnkurve, gilt:

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Ja, in z-Richtung. Aber insgesamt nennt man so etwas einfach einen "schiefen Wurf". Das ist der Begriff, den ich eigentlich hören wollte.

Zu der Ebene: Logischerweise muss die senkrecht sein, d. H. die z-Achse muss in dieser Ebenen liegen, weil in diese Richtung ja eine Beschleunigung gegeben ist und deshalb auch die Geschwindigkeitskomponente in dieser Richtung irgendwann von 0 verschieden sein wird.
Wenn Du von der Anfangsgeschwindigkeit jetzt noch die Projektion auf die Waagerechte nimmst, dann hast Du einen zweiten Vektor für die gesuchte Ebene.

Außerdem muss der Ursprung ja auch in dieser Ebenen liegen, weil die Bahn ja auch vom Ursprung aus starten soll.

Du musst also einen Normalenvektor auf diese beiden Vektoren bestimmen und kannst dann damit eine Gleichung der Form 0 = a·r1 + b·r2 + c·r3. Wenn die für alle Punkte Deiner Ortskurve erfüllt ist, hast Du das bewiesen.
So würde ich es zumindest erst einmal versuchen, ich habs selbst noch nicht gerechnet und weiß nicht, ob es wirklich zum Ziel führt.

Gruß
Marco