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Nachricht |
Min Kowski
Gast
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 Min Kowski Verfasst am: 20. Okt 2015 18:44 Titel: Transformation Kugelkoordinaten |
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Hallo, ich habe eine Frage bzgl. der Koordinatentransformation von Kart. in Kugelkoordinaten:
Die Transformation ist ja:
^T = (r \sin \theta \cos \varphi , r \sin \theta \sin \phi , r \cos \theta)^T )
Ich Frage mich nun in welcher Basis die rechte Seite der Glg. gegeben ist. Also entwender in der Standartbasis der Kartesischen oder Kugelkoordinaten. D.h. welche Variante ist korrekt? Entweder:
^T = r \sin \theta \cos \varphi e_x + r \sin \theta \sin \phi e_y + r \cos \theta e_z )
oder:
^T = r \sin \theta \cos \varphi e_r + r \sin \theta \sin \phi e_{\varphi}+ r \cos \theta e_{\theta} )
Ich selbst tendiere zu ersten Version. Dann bleibt die Frage, welche Koeffizienten wären bei der 2. Version die Richtigen und wie kommt man auf die Koeff.
 (s.u.)?
^T = a_1 e_r + a_2 e_{\varphi}+ a_3 e_{\theta} )
Ich hoffe ihr versteht die Problematik und könnt mir helfen. Viele Grüße  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 20. Okt 2015 18:51 Titel: Re: Transformation Kugelkoordinaten |
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| Min Kowski hat Folgendes geschrieben: |
Ich selbst tendiere zu ersten Version. |
Das ist auch korrekt.
| Zitat: | Dann bleibt die Frage, welche Koeffizienten wären bei der 2. Version die Richtigen und wie kommt man auf die Koeff.
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^T = r \vec e_r)
Wieso kannst Du Dir selber überlegen  |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Okt 2015 20:13 Titel: |
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| Min Kowski hat Folgendes geschrieben: | Hallo, ich habe eine Frage bzgl. der Koordinatentransformation von Kart. in Kugelkoordinaten:
Die Transformation ist ja:
Ich Frage mich nun in welcher Basis die rechte Seite der Glg. gegeben ist. Also entwender in der Standartbasis der Kartesischen oder Kugelkoordinaten. D.h. welche Variante ist korrekt? Entweder:
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Diese Version ist zwar richtig, aber das grundlegende Problem und vermutlich der Hintergrund der Frage ist, daß du Koordinaten von Punkten und Komponenten von Vektoren nicht unterscheidest. Das bleibt solange ohne nachteilige Konsequenzen wie du es mit geradlinigen Koordinatensystemen zu tun hast. In krummlinigen Koordinaten, wie den Kugelkoordinaten, gibt es nicht "die" Basis, sondern viele verschiedene Basen, in jedem Punkt des Raumes, also für jeden Wert der Koordinaten  eine eigene. Die zugehörigen Basisvektoren erhält man als Abeitung der Koordinatenlinien in dem entsprechenden Punkt, also z.B.
 = \frac{\dd x}{\dd r}e_x + \frac{\dd x}{\dd r}e_y + \frac{\dd z}{\dd r}e_z = \sin \theta \cos \phi e_x + \sin \theta \sin \phi e_y +\cos\theta e_z,\ \text{ etc.}
<br />
)
In diesem Zusammenhang ist es auch vorteilhaft über die kartesischen Basisvektoren als Objekte, die in einem Punkt (x,y,z) angeheftet sind, nachzudenken, welche lediglich die angenehme Eigenschaft haben, bei einer Verschiebung von Ort zu Ort konstant zu bleiben. Wenn du jetzt nach demselben Verfahren die restlichen beiden Vektoren ausrechnest, hast du ein Gleichungssystem, welches dir die Transformation zwischen zwei Basissystemen am Punkt (x,y,z) beschreibt.
Einen Vektor im  kann man nun frei im Raum verschieben. Deshalb kann man ihn prinzipiell auch bezüglich jeder Basis an jedem beliebigen Ort in seine Komponenten zerlegen. Deine ursprüngliche Frage, wie die Komponenten lauten, läßt sich also gar nicht eindeutig beantworten ohne, daß du angibst, bzgl. welches Basissystems an welchem Punkt eine solche Entwicklung vorgenommen werden soll. Konzeptionell am saubersten ist es allerdings wieder von Vektoren als an einem Punkt angehefteten Objekten auszugehen, die am besten in einer am selben Ort befindlichen Basis entwickelt werden.
Eine Komplikation ergibt sich nun aber dadurch, daß der Ortsvektor  an einem Punkt (dem Nullpunkt) angeheftet ist, in dem das System aus Kugelkoordinaten singulär ist, d.h. keine Basis für mehr definiert. Man kann aber (und tut dies auch oft) den Ortsvektor  in der Basis entwickeln, die sich an dem Ort befindet, zu dem er zeigt, anstatt in eine Basis am Ursprung. Die Komponenten des Ortsvektors in dieser Basis kann man z.B. über die Skalarprodukte mit der Basis erhalten
Das ist ziemlich einfach auszurechnen. Ich empfehle dir, es mal zu probieren. |
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Min Kowski
Gast
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| Min Kowski Verfasst am: 21. Okt 2015 13:44 Titel: |
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Danke für die beiden Antworten. gerade die unterscheidung zwscihen vektorkomponenten und punktkoordinaten war bisher völlig an mir vorbeigegangen... |
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