Formel für gedämpfte Schwingung, Differentialgleichung

TG · Gast

Hallo, habe ein Problem mit der gedämpften Schwingung...
Also
Eine gedämpfte Schwingung mit Startamplitude 1 und ohne Phasenverschiebung hat ja Bewegungsgleichung
s(t) = exp(-b t) sin (w t)
Sie ist Lösung der Differentialgleichung
m s''(t) + D s(t) + k s'(t) = 0, mit w = sqrt (D/m) und b = k / (2m), laut Buch.

Wenn ich also die Bewegungsgleichung in die Differentialgleichung einsetze, muss da am Ende doch 0 = 0 stehen, oder? Das gelingt mir jedenfalls nicht! Oder denke ich hier schon falsch?
Meine Rechnung:
Differentialgleichung durch m teilen, w und b ersetzen:

s''(t) + w^2 s(t) + 2 b s'(t) = 0

s'(t) = -b exp(-b t) sin (w t) + w exp(-b t) cos(wt)
s''(t) = (b^2 - w^2) exp(-b t) sin (wt) + (-2 b w) exp(-b t) cos(wt)

einsetzen:
exp (-bt) [ (b^2 - w^2 + w^2 - 2 b^2) sin(wt) + (-2 b w + 2 b w) cos(wt) ] = 0
vereinfachen
-b^2 exp(-bt) sin(wt) = 0 !! UND NICHT 0 = 0 !!

Das ist aber nur für b = 0 richtig, aber dann wäre ja die Dämpfung 0.
Was mache ich falsch????

Gruß, tg

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Du verwendest die Frequenz

Das ist die Frequenz der ungedämpften Schwingung.

Die Frequenz der gedämpften Schwingung ist

Wird die Dämpfung zu stark, dann ist das gar keine Schwingung mehr, sondern man erhält den aperiodischen Grenzfall (omega = 0) oder den Kriechfall ("omega" = imaginär).