Kepler Formeln leicht merken?

Mr Maths · Anmeldungsdatum: 15.05.2011 Beiträge: 110

Hallo,

ich habe hier folgende Formeln, jedoch kann ich mir diese nicht gut merken ohne jeglichen Zusammenhang zu kennen:

1.

2.

Also ich glaub das sind mal die zwei wichtigsten Formeln in, um einige "Sachen" beschreiben zu können im Bezug auf Kepler, doch von wo kommen die?

Also es geht ja im Prinzip um irgendwelche Kreisbwegungen, d.h. man hat einmal die Winkelgeschwindigkeit

, wobei T die Periodendauer bzw. die Umlaufzeit ist. Das ist mir klar und auch leicht zum Merken. Doch was sagt die 1. Gleichung und 2. Gleichung aus?

Was kann man damit machen? Einfach die Formeln merken empfinde ich als sinnlos, denn wenn ich ungefähr vestehe, wo die herkommen bzw. was für eine Bedeutung diese haben, dann kann ich auch leicht damit rechnen.

- MrMaths

MeMeansMe · Anmeldungsdatum: 03.10.2014 Beiträge: 36

Hey, ich hoffe, du kannst trotz der späten Antwort noch was damit anfangen.

Also, diese Gleichungen werden typischerweise benutzt, um das dritte Keplersche Gesetz herzuleiten, das lautet:

,

wobei

die Umlaufzeiten von zwei Objekten um ein Zentralgestirn sind und

deren große Halbachsen (wegen Ellipsenbahnen).

Der Ansatz ist folgender (wir nehmen hier eine Kreisbewegung an, keine Ellipsenbahnen): Damit ein Objekt (typischerweise ein Planet) sich um das Zentralgestirn bewegen kann, muss die gravitative Bindung durch das Zentralgestirn die Zentrifugalkraft, die durch die Bewegung um das Gestirn erzeugt wird, ausgleichen. Mathematisch heißt das:

Der Betrag der Zentrifugalkraft ist

. Kann man nachrechnen, bei Bedarf liefere ich die Rechnung nach. Nach Newtons Gravitationsgesetz gilt für die Gravitationskraft

, wobei

und

die Massen der Objekte sind, die in gravitativer Wechselwirkung stehen. Diese setzt du nun gleich:

Du kannst dann noch einmal mit

multiplizieren, um

zu erhalten.

Um die Rotationsdauer

in die Gleichung zu bekommen, musst du dir klarmachen, dass

gilt (der zurückgelegte Weg geteilt durch die Geschwindigkeit). Diese Gleichung stellst du nach

um:

und dementsprechend quadriert:

Das setzt du in

ein und kriegst somit (nachdem du durch

geteilt hast):

,

deine Gleichung Nummer 2). Hiermit kannst du nun bei Bedarf weiterrechnen, um auf das dritte Keplersche Gesetz zu kommen.

Zu deiner ersten Gleichung: Die sagt im Prinzip, dass Zentrifugal- und Gravitationskraft gleich sein müssen, allerdings verwendet man dann nicht

, sondern (wie ich es in diesem Beitrag getan habe)

, weil

nur eine gute Näherung für Prozesse ist, die nahe der Erdoberfläche stattfinden. Bei großen Distanzen wie der Abstand Erde-Sonne kommt man damit nicht weit.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Bei Bedarf gerne nochmal nachfragen smile