DGL Erzwungener (gedämpfter) Oszillator - Exponentialansatz

Serenade · Anmeldungsdatum: 06.02.2015 Beiträge: 4

Hi, ich habe noch einige Schwierigkeiten bezüglich des Themas, insbesondere beim Finden der partikulären Lösung, da das für mich alles wie aus dem Nichts gegriffen erscheint.

Mal zu der Aufgabenstellung:

Eine als masselos zu betrachtende Feder der Ruhelänge l_0 = 0.5 m und der Federkonstante
k = 100 N/m befindet sich aufrecht in einem Führungsrohr. Am Federende ist eine Waagschale
(Masse M = 0.1 kg) befestigt, auf der sich ein Gewicht mit m = 1 kg befindet.
Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9.81 m/s^2 Das System wird nun in Richtung der Schwerkraft
durch eine periodische äußere Kraft F(t)=F cos(ωt), Fm = 10 N zu erzwungenen Schwingungen
angeregt.

Also im Prinzip eine Feder, die aufrecht auf Boden besteht und darauf die Waagschale + Gewicht angebracht ist.

a) Berechnen Sie zunächst die Ruhelage der Masse m. Wählen Sie dann die Ruhelage als Koordinatenursprung
und stellen Sie die Bewegungsgleichung der Masse m fur den Fall einer ¨
ungedämpften Schwingung auf. Geben Sie die Lösung an und berechnen Sie die Eigenfrequenz
ω0.

b) Fur den Fall einer gedämpften Schwingung ist die Bewegungsgleichung der Masse gegeben
durch:

Bestimmen Sie die Eigenfrequenz der Masse ω0 und zeigen Sie, dass x(t) = A sin(ωt) +
B cos(ωt) eine Lösung der Differentialgleichung darstellt, indem Sie A und B berechnen.

Neue Ruhelage berechnen ist kein Problem, aber beim Nächsten bin ich mir nicht so ganz sicher,was von mir verlangt wird bzw. bin ich verwirrt.
Sollte die Eigenfrequenz a), als auch bei b) nicht die Gleiche sein?

Bei a) müsste die DGL doch so lauten.

Erstmal durch (m+M) teilen und homogenen Teil lösen. Exponentialansatz und ich komme durch Umformung z.B. auf die Lösung

oder z.B.

Nun brauch ich noch eine partikuläre Lösung.
So hier beginnt das eigentliche Verständnisproblem.

Im Demtröder steht, dass die partikuläre Lösung irgendwie von der Form

Sein muss.

Wie genau muss ich nun fortfahren? Die partikuläre Lösung in die DGL einsetzen und schauen, was hinterher rauskommt? Welche Darstellungsform würde sich hier am ehesten zur Berechnung eignen?

Soviel zur a)

Bei der b) stellen sich mir folgende Fragen auf:

Die Schwingung ist gedämpft. Also müsste ich doch hier zwischen schwacher und starker Dämpfung und dem aperiodischen Grenzfall unterscheiden, oder etwa nicht? Im Demtröder wird diesbezüglich kein Unterschied gemacht, aber ganz ignorieren kann ich es doch auch nich, auch wenn nach einiger Zeit der Erreger vorgibt, wie sich das Ganze zu schwingen hat.

Und vllt noch direkt auf die Fragestellung von b). Soll ich da nur die mir vorgegebene Lösung einsetzen und A sowie B berechnen?

Das sollte erstmal reichen. Würde mich freuen, wenn mich jemand ein wenig aufklären kann.

Max Cohen · Anmeldungsdatum: 13.04.2014 Beiträge: 280

Ohne deine Rechnung jetzt auseinander zu pflücken aber hier passt doch etwas schon mit den Einheiten nicht. Deine Formel

ergibt kein Newton. Hier steht

was

ist.

Serenade · Anmeldungsdatum: 06.02.2015 Beiträge: 4

Sry, das m sollte ein Index vom F sein.