Temperatur abkühlung differentialgleichung

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Meine Frage:
Hallo die Aufgabe ist folgende :

Laut Newton ist die Temperaturänderung eines Gegenstandes proportional
dem Temperaturunterschied zur Umgebungstemperatur TU. Mathematisch
formuliert ist demnach die Zeitabhängigkeit der Temperatur des
Gegenstandes T(t) durch die Differentialgleichung
dT/dt= k(T ? TU)
gegeben, wobei die Proportionalitätskonstante k vom Material des Gegenstandes
abhängt.
Ein Kuchen werde nun mit 150?C aus dem Ofen genommen und habe 3
Minuten später nur mehr eine Temperatur von 100?C. Wie lange dauert
es, bis der Kuchen bis auf 1/10 Grad an die Raumtemperatur von 20? C
herankommt?

Meine Ideen:
Ich habe gesehen das ist die Newtonsche Abkühlungskurve die sich folgend beschreiben lässt :

nach einsetzen der Randbedinungen die ich so angesetzt habe :

(m..Raumtemperatur =20°)
kann man sich c und k ausrechnen , die gerundeten werte sind hier

die eindeutige funtiion die diese Differentialgleichung löst sieht dann so aus :

wenn man nun bis zu einem zentel grad bis zur Raumtepmeratur rangehen will dann ist die abgesunkene Temperatur gleich 20,1 ° .

wenn man dann für

setzt und t ausrechnet würde meiner meinung nach die Frage beantwortet sein für ein gerundetes t von

.

habe ich diese Aufgabe richtig gemacht?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Hallo , das vereinfacht meine ersten schritte etwas , danke !
ich glaube ich habe mich bei k verechnet , ich habe rausbekommen 13/24 nun .

passt aber der letze schritt vom prinzip ?

20,1=....... und auf t auflösen?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Mit t1 := 3 min erhalte ich

Damit könnte man die Gleichung für 20,1 °C schreiben und nach t2 umstellen (ca. 44 min).
Nebenbei
1. Die Verwendung von Celsiustemperaturen an dieser Stelle ist nicht ganz selbstverständlich; es klappt zufällig durch die Temperaturdifferenzen.
2. Viele Kuchen schmecken am besten warm / heiß aus der Röhre.