Unterschied zwischen Skalarprodukt und Standardskalarprodukt

panzerknacker · Gast

Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Standardskalarprodukt?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8763

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt
vs
https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Definition_.28Axiomatik.29

panzerknacker · Gast

Das verstehe ich leider nicht. Vielleicht kann ja jemand mit eigenen worten mir den unterschied erklären

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8763

Ein allgemeines Skalarprodukt ist ein abstraktes Produkt zwischen zwei Vektoren, dass bestimmte Eigenschaften erfüllt (siehe 2ter Link oben).

Das Standardskalarprodukt ist ein mögliches Skalarprodukt, welches oft auftaucht (daher der Name "Standard").

Es verhält sich hier also so ähnlich wie bei "Auto" und "VW Käfer". Das zweite ist eine spezielle Realisierung des ersten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21658

Betrachte zwei relle Koordinatenvektoren

sowie eine reelle, positive definite Matrix

Wir führen nun folgende Definitionen ein:

A ist genau dann positive definit, wenn für alle Vektoren x ungleich dem Nullvektor gilt

Für den Fall dass A = 1, also dass A der Einheitsmatrix entspricht, reduziert sich der zweite Ausdruck auf den ersten. Dies entspricht dem Standardskalarprodukt.

Ein allgemeineres Skalarprodukt erhältst du für beliebige, positive definite Matrizen A.

Generell ist ein verallgemeinertes Skalarprodukt eine Sesquilinearform (.,.), die zwei Vektoren x, y eines Vektorraumes V eine komplexe Zahl c zuordnen, d.h.

wobei lediglich gefordert ist, dass (.,.)
1. sesquilinear (linear im zweiten und semi-linear im ersten Argument)
2. hermitesch
3. positive definit
ist.

Derartige Struktren kann man einführen für unterschiedliche Vektorräume V, z.B. reelle und komplexe Vektorräume, unendlich-dimensionale Hilberträume, speziell Funktionenräume , Lie-Algebren, ...