Lagrange-Funktion

Rindsbiene · Anmeldungsdatum: 11.06.2016 Beiträge: 8

Hallo,

sitze gerade an folgender Aufgabe:

Gegeben ist die L-Funktion eines Teilchens, das sich in einer Dimension bewegt:

L= e^(gamma*t) * (m/2 x_punkt² - V(x))

Ich soll die Euler-Lagrange-Gleichung aufstellen und habe das hier rausbekommen:

e^(gamma*t) * gamma m x_punktpunkt + e^(gamma*t) * gamma d/dt d/dx V(x) = 0

Bei der zweiten Teilaufgabe soll ich den kanonisch konjugierten Impuls berechnen, die Hamilton-Funktion und die Hamilton-Bewegungsgleichungen aufstellen:

Kanonisch konjugierter Impuls:

p = dL/dx = e^(gamma*t) * gamma m x_punkt
daraus folgt: x_punkt = P/(e^(gamma*t)m)

Hamilton-Funktion:

H= p²/(e^(gamma*t)m) + p + e^(gamma*t) d/dt d/dx V(x)

Bewegungsgleichungen:

q_punkt^j = 2p/(e^(gamma*t)m)
p_punkj = 0

Kann mir jemand sagen, ob das alles stimmt?

Bei der dritten Teilaufgabe soll mann annehmen, das V(x) = mgx ist. Man soll sagen, welche Kräfte die L-Gleichung bzw. die H-Funktion beschreiben und die Bewegungsgleichungen lösen.

So wie ich die Bewegungsgleichungen berechnet habe, kann ich sie aber gar nicht lösen grübelnd

auch das "p_punkj = 0" ist, finde ich etwas merkwürdig....

Was habe ich falsch gemacht???

LG
Rindsbiene

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Hallo!

Sorry, aber da hast Du ziemlich viele Fehler gemacht.

Schon die Lagrange-Gleichung ist falsch. Den Term

hast Du richtig ausgewertet (Nebenbei: Damit hast Du doch bereits den kanonisch konjugierten Impuls). Der Term

ist aber falsch (es sollte keine Zeitableitung auftauchen und auch kein Faktor gamma... Kann es sein, daß Du ausversehen mit

gerechnet hast? Dieser Fehler sollte nicht passieren, die ELG muß in Fleisch und Blut übergehen!).

Der kanonisch konjugierte Impuls ist definiert als

, nicht

, und den hast Du falsch berechnet. Korrekt wäre

.

ist aber demnach richtig. Ich frage mich, wieso...

Die Hamilton-Funktion ist auch falsch. Korrekt wäre

.

Folgerichtig hast Du auch

falsch berechnet. Augenzwinkern

ABER: Ich verstehe überhaupt nicht, wie Du auf

kommst! Überprüfe das nochmal!

Übrigens wäre es gar nicht so schlimm, wenn die Ableitung von p verschwinden würde. Die Hamilton-Gleichungen lassen bestimmte Substitutionen zu, sog. kanonische Transformationen. Die Hamilton-Jacobi-Methode besteht genau darin, solche kanonische Transformationen zu finden, daß alle kanonischen Impulse ein Bewegungsintegral sind. Hier ist das aber nicht der Fall.

Rindsbiene · Anmeldungsdatum: 11.06.2016 Beiträge: 8

Hey,
vielen Dank für deine Antwort! Ich werde die Aufgabe noch mal rechnen und deine Tipps berücksichtigen smile

LG
Rindsbiene

Rindsbiene · Anmeldungsdatum: 11.06.2016 Beiträge: 8

Also bei der ELG habe ich folgendes Problem:

wie leite ich denn V(x) nach x ab? ist "(delta/delta x) V(x)" richtig?

und und wenn ich den ersten Teil nach t ableite, müsste ich doch eigentlich eine Produktregel anwenden? Demnach wäre der erste Teil meiner ELG auch falsch und ich bekäme so etwas raus:

und insgesamt dann:

ist das nun richtig?

LG
Rindsbiene

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ja, klar, die Ableitung von V nach x ist gleich die Ableitung von V nach x. Big Laugh

Nur Deine Zeitableitung ist da fehl am Platz.

Und wegen der Produktregel hast Du absolut Recht, das habe ich wohl übersehen.

Wie kommst Du auf

? Der erste Teil sieht aber gut aus.