Freier Fall, g nicht konstant

flomo · Anmeldungsdatum: 06.02.2018 Beiträge: 3

Ich will die Endgeschwindigkeit eines aus größerer Höhe fallenden Körpers unter Berücksichtigung der mit der Höhe abnehmenden Erdbeschleunigung berechnen.

Ich gehe von den folgenden beiden Gleichungen aus:
1.

und
2.

für die mit h veränderliche Erdbeschleunigung

Einsetzen von 2 in 1 ergibt dann

Müsste man jetzt über h integrieren oder bin ich auf einem ganz falschen Weg ?

Bin schon lange im Ruhestand und beschäftige mich mit Mathe und Physik als Hobby. Wäre dankbar, wenn mir jemand da weiterhelfen könnte.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21601

Deine erste Gleichung gilt nicht für variables g(r).

Für variables g(r) könntest du die Bewegungsgleichung aufstellen und die resultierende Differentialgleichung integrieren.

Es gibt jedoch einen einfacheren Weg. Wir betrachten ein Objekt der Masse m, das in einem anziehenden Potential U(r) von der Ruhelage v(R) = 0 bei einem bestimmten Radius R zu kleineren r < R fällt. Für die Gesamtenergie in der Ruhelage gilt zunächst

Wegen Energieerhaltung gilt außerdem für jedes beliebige r und die dort erreichte Geschwindigkeit v = v(r) als Funktion des Radius r

Gleichsetzen liefert

Das kannst du jetzt nach v(r) auflösen und zuletzt das Newtonsche Gravitationspotential einsetzen.

flomo · Anmeldungsdatum: 06.02.2018 Beiträge: 3

War einige Zeit wegen Grippe außer Gefecht, deshalb melde ich mich erst jetzt.

Den von dir vorgeschlagenen Weg über die energiebetrachtung habe ich verstanden, die Lösung ist nicht weiter schwierig.

Ich wollte mich aber hauptsächlich darin üben, die Differentialgleichung aufzustellen und da komme ich nicht über die oben angeführte 3. Gleichung hinaus. Dein Hinweis, die erste Gleichung gelte nur für konstantes g, ist klar, deshalb habe ich ja g ersetzt durch einen von h abhängigen Ausdruck.

Also für einen weiteren Tip wäre ich dankbar

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21601

Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet

1) Nun sei F die Gravitationskraft mit einer vom Radius abhängigen Fallbeschleunigung g. Demnach gilt

wobei g(r) eine bekannte Funktion ist, die aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz folgt.

2) Andererseits gilt für die Beschleunigung im senkrechten Fall

Daraus folgt letztlich die zu lösende DGL

flomo · Anmeldungsdatum: 06.02.2018 Beiträge: 3

Mit deiner letzten Differentialgleichung

komme ich leider nicht klar.

Die Beziehungen zwischen s, v und a bezüglich differenzieren und integrieren sind mir klar, allerdings wird

über t integriert, um zu v zu kommen, g ist aber eine Funktion von r

, also

ich kann doch nicht links über t integrieren und rechts über r ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21601

Das ist das Wesen einer Differentialgleichung.

Schauen wir uns mal die DGL für eine harmonische Schwingung für x(t) an:

Wie löst du die? Nicht durch direkte Integration.