Maximale Steighöhe Heißluftballon

ultswonho · Gast

Meine Frage:
Hallo! Ich versuche hier gerade eine Aufgabe nachzurechnen, aber ich verstehe den Lösungsweg nicht.

Hier erstmal die Aufgabe:
Ein mit Helium gefüllter Wetterballon habe ein Volumen von V0 = 100m3 und wird bei normalem Luftdruck (p0 = 1013mbar) von der Erdober?äche aus gestartet. Die Geräte die der Ballon nach oben befördern muss und der Ballon selbst wiegen zusammen m = 50kg. Die Verdrängung der Messgeräte kann vernachlässigt werden. Nehmen Sie eine kugelförmige Form des Ballons an, sowie eine für alle relevanten Höhen konstante Temperatur von 20?C. Die elastische Hülle kann sich um ca. 40% in der Fläche ausdehnen. Wie hoch steigt der Ballon auf wenn Sie annehmen, dass er sich ungehindert ausdehnen kann, bis er seine maximale Größe erreicht hat?
(Dichte Helium am Boden bei 20?C = 0.179kg/m3, Dichte Luft am Boden: ?0 = 1.294kg/m3)

In den Lösungen steht:
Die Fläche vergrößert sich um 40%, wodurch sich für das Volumen ergibt: Amax = 1.4·A0 4?r2max = 1.4·4?r2 0 rmax = ?1.4r0 ? Vmax = 4 3 ?r3max Vmax = (1.4)3/24 3 ?r3 0 Vmax = (1.4)3/2V0 = 165.65m3
Damit ergibt sich fu¨r die Dichte des Heliums innerhalb des Ballons:
?He(Vmax) = m0 Vmax = m0 (1.4)3/2V0 = (1.4)?3/2?0 = 0.108kg/m3

Mit der barometrischen Höhenformel lässt sich das Gleichgewicht aufstellen zu:

FAuftrieb = FEigengewicht + FGasgewicht g?0Vmaxe??0gh p0 = mg + ?He(Vmax)Vmaxg e??0gh p0 = m + ?He(Vmax)Vmax ?0Vmax h = ? p0 ?0g ·lnm + ?He(Vmax)Vmax ?0Vmax h = 9176m
Der Ballon steigt also auf, bis er eine Höhe von 9176 Metern erreicht hat.

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre zunächst mal alle wichtigen Formeln für die Kugel aufzuschreiben

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Warum steht im Titel der Begriff "Heißluftballon", während es in der Aufgabe um einen ganz anderen Ballon geht?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Hab mich gefragt, wieso ich eine um ein paar hundert Meter abweichende Höhe erhalte. Der Grund ist, dass die in der Aufgabe angegebene Luftdichte nicht ganz kompatibel ist mit den weiteren angegebenen Grössen - Luftdruck und Temperatur. Die Luftdichte hat den angegebenen Wert bei etwa 0°C, nicht 20°C.

An den Fragesteller: Du scheinst ja einen recht ausführlichen Lösungsweg vor Dir zu haben. So wie oben wiedergegeben, ist er aufgrund der falsch dargestellten Sonderzeichen aber kaum nachvollziehbar. Was verstehst Du genau nicht? Grundlage ist, wie aufgeführt, das Kräftegleichgewicht bei maximaler Höhe: Auftriebskraft=Gewichtskraft des Ballons inkl. Last. Bei der Auftriebskraft benötigt man die isotherme Barometerformel, da die Auftriebskraft abhängig ist von der Luftdichte, und diese mit zunehmender Höhe exponentiell abnimmt - konstante Temperatur vorausgesetzt.