Klemmspannung Batteriemodell mit RC Glied

modelleur · Anmeldungsdatum: 27.08.2018 Beiträge: 3

Meine Frage:
Hallo,
ich sitze derzeit vor der Aufgabe ein Modell einer Li-Ion-Batterie zu entwickeln. Dabei habe ich ein ESB gewählt, welches aus Spannungsquelle (Ruhespannung OCV), ohmschen Widerstand (R_I) und mehreren RC-Gliedern besteht. Die Ruhespannung und die Bauteilparameter sind, abhängig vom Ladezustand, gegeben.
Desweiteren habe ich einen Stromverlauf gegeben (beispielsweise für 5s 10A dann 10s 8A usw.), mit dem die Batterie entladen werden soll. Damit möchte ich die Klemmspannung (Ausgangsspannung U_A) berechnen.
Kann jemand helfen diese zu berechnen?

Ich hoffe mein Problem ist einigermaßen verständlich.
Vielen Dank im Vorraus.

Meine Ideen:
Nun berechnet sich ja für ein ESB (Bspw.

) die Ausgangsspannung wie folgt:

Da ich ja aber keinen Verlauf der Spannung U_C und folglich keine Ableitung habe, benötige ich eine Formel die lediglich vom Strom ausgeht.
Folgende Formel hilft zumindest beim Stromsprung von 0A auf beispielsweise 10A, nicht jedoch anschließend von 10A auf 8A:

Diese habe ich in einem Buch gefunden und ich verstehe sie, aber leider weiß ich nicht wie ich diese mathematisch herleiten kann. Ist es möglich von erst genannter Formel auf die zweite zu kommen?
Und kann ich sie anpassen, sodass sie auch für weitere Stromsprünge gültig ist?

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Willkommen im Physikerboard!

Die Herleitung geschieht über eine sogenannte Differentialgleichung. Bei dieser taucht eine Funktion und mindestens eine Ableitung davon auf. In Deinem Fall hast Du ja

.

Dies ist eine sehr einfache Differentialgleichung - man sucht eine Funktion, die mit einem Faktor identisch mit ihrer ersten Ableitung ist. Nun, das schreit nach einer e-Funktion, und in der Tat ist hier die Lösungsformel

. Den Faktor K bekommt man leicht über die Anfangsbedingung u(0) heraus.

Und so kannst Du die weiteren Berechnungen durchführen.

Viele Grüße
Steffen

modelleur · Anmeldungsdatum: 27.08.2018 Beiträge: 3

Vielen Dank schonmal Steffen,
das ist sehr hilfreich und sieht grundsätzlich nach der richtigen Lösung aus. Allerdings ist die DGL für

ja:

Und

fliegt ja eigentlich nicht einfach raus weil es konstant ist oder? Jedenfalls bekomm ich bei der von mir genannten Formel keine sinnvolle Lösung heraus.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Ja, da hast Du eine sogenannte Störfunktion in der DGL. Das löst man mit Substitution. Ich hab sowas schon etwa 30 Jahre nicht mehr gemacht, bin also etwas aus der Übung. (Deswegen hatte ich mit der ersten Antwort auch etwas gezögert.)

Aber hier mal ein Beispiel aus meinem Matheskript von damals. Vielleicht hilft's:

Das kannst Du nun auf Deinen Fall

übertragen.

modelleur · Anmeldungsdatum: 27.08.2018 Beiträge: 3

Vielen Dank,
ich habe es jetzt denke ich mit homogener und heterogener Lösung hinbekommen. Die Ergebnisse decken sich mit denen deines Matheskripts, wenn ich entsprechende Parameter austausche.
Damit, falls jemand mal ähnliche Probleme hat, eine Lösung vorhanden ist, stell ich meine hier mal rein.
homogene Lösung:

heterogene Lösung:

mit

lautet die Gesamtlösung:

K entspricht dann der Differenz der Spannung, die am Ende des letzten Intervalls an RC Glied anlag und der die für t gegen unendlich im aktuell betrachteten Intervall anliegt: