Interpretation Drittes Keplersches Gesetz

Mouflon · Anmeldungsdatum: 24.10.2018 Beiträge: 3

Meine Frage:
Hallo in die Runde,
meine erste Frage im Forum:
Gegeben sind folgende Informationen:
Marsradius: 3393,4 km
Marsmasse: 6,4191*10^23
Die beiden Marsmonde Phobos und Deimos benötigen 7 Stunden, 39 Minuten und 14 Sekunden, bzw. 1 Tag, 6 Stunden, 17 Minuten und 55 Sekunden für ihre Umkreisung.
So. Frage, ihr könnte es wohl schon erraten: ich soll den mittleren Radius der Bahn der beiden Monde um den Mars bestimmen.

Meine Ideen:
Für mich schreit das nach dem dritten Keplerschen Gesetz.
(t(1)^2/t(2)^2)=(r(1)^3/r(2)^3).
Um diese Gleichung zu lösen habe ich aber eine Unbekannte zu viel.
Beim Stöbern im Forum bin ich in diesem Zusammenhang auf Folgendes gestoßen:
t^2=((4*pi)/(G*M))*r^3
(G: Gravitationskonstante, M: Masse Mars)
Macht das Sinn? Und wenn ja, wie ist der Zusammenhang zur ersten genannten Formel (Herleitung)?
Und wo wir gerade beim Keplerschen Gesety sind.... Was genau bedeutet das Ergebnis? Es Handelt sich doch um ein Verhältnis der Abstände oder spuckt die Formel mir eine Zahl aus, die dann die Entfernung in einer Einheit angibt?

Vielen Dank und schönen Abend

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Willkommen hier im Forum

Du kannst die Aufgabe nicht mit dem 3. Keplerschen Gesetz lösen. Zur Bedeutung des Gesetzes siehe z.B. den Wikipedia-Artikel über die Keplerschen Gesetze.
Das Gesetz könnte verwendet werden, wenn ein Radius der Umlaufbahn (bzw. grosse Halbachse) eines Mondes bekannt wäre, was aber nicht der Fall ist. Um die Radien zu bestimmen, musst Du die Gravitationskraft auf einen Mond gleich der nötigen Zentripetalkraft setzen, also

wobei M, m die Massen von Mars und Mond und

die Winkelgeschwindigkeit des Mondes ist.

Mouflon · Anmeldungsdatum: 24.10.2018 Beiträge: 3

Danke für deine Antwort.
Dass ich die Aufgabe nicht ohne weiteres mit dem dritten Keplerschen Gesetz lösen kann habe ich ja bereits erwähnt. Dieses lässt sich aber, wenn ich es richtig verstehe, auch wie folgt ausdrücken:
T^2=((4*pi^2)/(GM))*r^3....
Diese Gleichung kann man umstellen und somit die Aufgabe lösen.
Oder was sagt sie aus?
Lg
Mouflon

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Sorry, ich hätte Deinen Beitrag genauer lesen sollen. Natürlich kannst Du die Aufgabe mit der von Dir angegebenen Gleichung lösen. Diese beinhaltet etwas mehr, als man gemeinhin unter dem 3. Keplerschen Gesetz (T1^2/T2^2=a1^3/a2^3) versteht. Deine Gleichung ist entspricht auch dem, was man beim Gleichsetzen von Gravitationskraft und Zentripetalkraft erhält.