Relationen für Legendre-Polynome

stefanboltzmann · Anmeldungsdatum: 08.11.2018 Beiträge: 44

Meine Frage:
Guten Abend liebe Physiker.

Ich scheitere an folgender Aufgabe (siehe Anhang).
Die Aufgabe sollte eigentlich einfach sein, aber ich komme leider nicht auf die gewünschten Darstellungen.

Meine Ideen:
Bei a) wäre meine Idee, die zweite Gleichung nach Pl(cos(theta)) umzuformen und den Laplace Operator in Kugelkoordinaten anzuwenden. Die Ableitungen nach r und phi würden wegfallen, da es keine Abhängigkeit dieser Variablen gibt. Jedoch komme ich nicht auf die andere Seite der Gleichung. Der Faktor würde bei mir schon (l(l+1))^1 und nicht l(l+1) heißen.
Bei b) und c) würde ich genauso dran gehen, nur vorher noch die entsprechenden Faktoren an Pl(cos(theta)) dran multiplizieren.
Ist mein Vorgehen falsch?

Grüße

Stefanboltzmann

stefanboltzmann · Anmeldungsdatum: 08.11.2018 Beiträge: 44

Eine Antwort ist immer noch erwünscht und erhofft.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Bei a) musst Du doch gar nichts rechnen. Der erste Summand auf der linken Seite der 2. Gleichung der Aufgabe entspricht bis auf einen Faktor 1/r^2 dem relevanten Teil des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten.

Bei b) einfach stur rechnen und beim Ableiten von

mehrfach die Produktregel anwenden. c) habe ich nicht nachgerechnet, aber das wird genauso gehen.

stefanboltzmann · Anmeldungsdatum: 08.11.2018 Beiträge: 44

Oh, a) war ja ziemlich trivial.
Danke für die Antwort.

Bei b) haperts jedoch schon wieder. Wie bekomme ich das r^l mit in den Laplace Operator? Durch das Ergänzen der Gleichung von r^l gehört der Faktor ja nicht nicht zu dem Pl. und so kann ich den Teil nicht wie in a) umschreiben.
Muss ich hier diesmal die Gleichung nach Pl(cos(theta)) umstellen mal r^l multiplizieren und den Laplace Operator anwenden?
Durch das r^l haben wir ja nun auch eine Abhängigkeit von r und damit erweitert sich der Operator ja um einen Term.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Einfach den Laplace-Operator auf die Funktion

anwenden. Hier verschwindet die Ableitung nach r nicht mehr. Der Teil mit der Ableitung nach

ergibt nach der Gleichung im Aufgabentext

und hebt sich mit dem ersten Teil weg.

stefanboltzmann · Anmeldungsdatum: 08.11.2018 Beiträge: 44

Bei dieser Aufgabe hatte ich echt ein Brett vor dem Kopf.

Vielen Dank für die Hilfe.

Grüße

Stefanboltzmann