Bewegungsgleichung aus dem Potential ermitteln

alex_I99 · Gast

Meine Frage:
Ein Teilchen mit Masse m bewegt sich im Potential

U(x)= \frac{-U_0}{cosh^2(\frac{x}{x_0} )} , wobei U_0 > 0, x_0 > 0.

a) Beschreiben Sie die Bewegungen des Teilchens jeweils für positive und negative Gesamtenergie und fertigen Sie eine Skizze an.

b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung des Teilchens für E_ges = 0 und beliebige x(t = 0) = x_1.

c) Zwei Teilchen mit identischer Masse und gleicher Energie E_ges >U_0 starten an der Stelle ?x_1 in Richtung x_1. Das erste Teilchen bewegt sich im Potential U(x). Das zweite Teilchen erfährt keine Kraft. Nach welcher Zeit legen die beiden Teilchen die Strecke von?x1 bis x1 zurück? Wie groß ist der Laufzeitunterschied für x_1 ???

Meine Ideen:
Für die a)

Habe ich mir überlegt zunächst aus der Gleichung E_ges=U+T die Geschwindigkeit \dot{x_max} zu berechnen als auch x_max. Natürlich aus den Bedingungen, dass

E= U+T mit \dot{x}=0 folgt E=U

E= U+T mit x=0 folgt E=T

Danach wollte ich ein Phasenportrait bzg x und \dot{x} anfertigen.

Deswegen lautet meine frage zur a) ob diese Herangehensweise korrekt ist und was genau mit positiver und negativer Gesamtenergie gemeint ist, ob man da jetzt nur einen Vorzeichenwechsel vor nehmen sollte oder nicht.

Zur b)

Nun da habe ich mir überlegen, ob man E = T+U mit T=\frac{1}{2}m\dot{x^2} nach \dot{x} auf zulösen. Da diese eine DGL ist die sich mit Separation der Variablen lösen lässt und nach der Aufgabenstellung E=0 ist kam ich auf folgendes Ergebnis

t=\pm \int_a^b \! \sqrt{\frac{-2U}{m} } \, \dd x mit U(x)= \frac{-U_0}{cosh^2(\frac{x}{x_0} )}

Zur c) hab ich leider noch keinen Ansatz

Nissai