Trägheitstensor Rechteck mit vier Punktmassen

Physiker1605007 · Gast

Meine Frage:
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe bekommen, bei der ich nicht weiter weiß:

Gegeben sind vier Punktmassen in der x-y-Ebene. Zwei Massen der Masse M befinden sich an den Punkten (a,b,0) und (-a,-b,0). Zwei weitere Massen der Masse m befinden sich an (-a,b,0) und (a,-b,0).
Bestimmen Sie den Trägheitstensor bezüglich des Schwerpunktes.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:
Die Punktmassen bilden ein Rechteck der Kantenlänge 2a und 2b. Der Schwerpunkt liegt in der Mitte, also im Ursprung des Koordinatensystems.

Die Allgemeine Formel für den Trägheitstensor lautet:
J(ij)=Integral(rho(r)*(r^2*delta(ij)-x(i)x(j))dV

Ich denke, dass J(13)=J(23)=J(31)=J(32)=0 sein muss. Aber beim Rest komme ich nicht so wirklich weiter.

Wäre toll, wenn mir jemand helfen würde.

Physiker1605007 · Gast

Vielleicht könnte mir jemand beim aufstellen der Dichtefunktion helfen und einen Tipp geben, welche Grenzen ich für z wählen muss.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2150

Bei Punktmassen wird aus dem Integral einfach eine Summe (falls du es trotzdem mit dem allgemeinen Integralansatz lösen willst, musst du die Dichte mit Hilfe der Deltafunktion ausdrücken und über den gesamten Raum integrieren).

Viele Grüße,
Nils

Physiker1605007 · Gast

Hallo, danke schonmal dafür.

Habe nun folgende Ergebnisse:
J(11)=2*b^2*(M+m)
J(22)=2*a^2*(M+m)
J(33)="*sqrt(a^2+b^2)*(M+m)
J(13)=J(31)=J(23)=J(32)=0

Jedoch komme ich bei J(12) und J(21) nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich diese berechnen könnte. Ein Tipp?

Physiker1605007 · Gast

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2150

Physiker1605007 · Gast

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2150

Ja klar:

J(12) = -abM -(-a)(-b)M -a(-b)m - (-a)bm = 2abm - 2abM = 2ab(m-M)

Physiker1605007 · Gast