Schrödingergleichung analytisch unlösbar - was heißt das?

Gragelgorski · Anmeldungsdatum: 08.09.2006 Beiträge: 18

Hallo,

man findet ja in der Literatur oft den Hinweis, dass z.B. die Schrödingergleichung für ein System aus mehr als zwei Ladungen "analytisch unlösbar" ist. Was bedeutet dieser Begriff?
Dass es im strengen Sinne überhaupt keine Lösung gibt, oder dass es eine Lösung gibt, die man aber nicht mit einer bestimmten Menge von Funktionen darstellen kann?
Gar keine (strenge) Lösung fände ich höchst seltsam, denn was sieht man dann, wenn man z.B. Molekülorbitale numerisch berechnet? Hat die Quantenmechanik da ein "Loch"?

MfG
Gragelgorski

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

den begriff analytisch unlösbar findet man immer dann, wenn man für ein System keine eindeutige Lösung finden kann. Das erschlägt einen ganz gerne in Mathe bei den Integralfunktionen, denn dort ist das sogar bei den meisten der Fall. Allerdings heisst es nicht, dass man sich der Lösung nicht numerisch annähern kann, und das sogar beliebig genau. Das heisst also, dass du für dein Problem keine explizite Lösung finden kannst, wo du einfach nur die Werte einsetzen brauchst, sondern du baust dir eine Art Folge auf, mit einer von dir bestimmten Grenze wie genau du das Ergebnis haben willst und rechnest diese dan herunter. Das ist damit gemeint.

Anderes Beispiel ist das Newton Verfahren, das nach Nullstellen von Funktionen sucht. Je länger du rechnest, umso genauer kommts, aber du wirst die Stelle nie exakt bestimmen können

Gragelgorski · Anmeldungsdatum: 08.09.2006 Beiträge: 18

Danke für die Antwort. smile

Um noch ein bisschen darauf rumzureiten, d.h. wenn ich aus irgendeinem Grund nur Polynome und keine Potenzreihen (unendlich sieht komisch aus und so Augenzwinkern

), e-Formeln etc zulassen, wäre auch die Differentialgleichung

"polynomiell" nicht lösbar (von der trivialen Lösung abgesehen). Könnte es genauso sein, dass die für Molekülorbitale charakteristischen Funktionen einfach nur noch nicht richtig definiert sind, sich aber im Prinzip sehr ähnlich sehen, auseinander hervorgehen - es also Sinn machen würde, ein "Wort" für sie zu erfinden und sie sich näher anzuschauen?
(Wahrscheinlich nicht, sonst hätte es wohl schon jemand gemacht. LOL Hammer

)

MfG
Gragelgorski

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Im prinzip stimmt dies.
Man hat zum Beispiel für die Schrödingergleichung im Zentralfeld sog. Kugelflächenfunktionen Y(l,m), welche als Lösung einer ganz bestimmten Differentialgleichung definiert sind. Genauso ist ja der sinus als Lösung der Differentialgleichung

y'' + y = 0

definiert. Trotzdem kann man den Sinus in eine Potenzreihe beliebig genau entwickeln.

Nicht analytisch heisst normalerweise, dass man die Lösung nicht in Formeln hinschreiben kann, in der Form

y = f(x), wo in f(x) nur "bekannte" Funktionen drinstehen.

nabla · Anmeldungsdatum: 08.09.2006 Beiträge: 4

Gragelgorski · Anmeldungsdatum: 08.09.2006 Beiträge: 18

Hmm, läuft das nicht auf das selbe hinaus? smile