Trägheitsmoment - Drehachse parallel zur Hauptdiagonale

Physikerstsemester · Anmeldungsdatum: 07.02.2021 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo, ich habe hier folgende Aufgabe vor mir:

"Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Würfels (Kantenlänge l, Masse M) für ein körperfestes Koordinatensystem, dessen Ursprung im Schwerpunkt des Quaders liegt. Die Drehachse geht durch den Schwerpunkt und ist parallel zur Raumdiagonalen des Würfels."

Ich weiß leider nicht, wie ich das machen soll.

Meine Ideen:
Meine Idee war mit

das Trägheitsmoment zu bestimmen. Für einen Quader, dessen Drehachse parallel zur z-Achse stand, habe ich das auch schon gemacht. Ich weiß nur nicht, wie ich mein Integral abändern muss, wenn die Drehachse jetzt parallel zur Hauptdiagonalen verläuft. Kann mir jemand helfen?

Viele Dank im Voraus und LG!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Wenn Du das Trägheitsmoment

bezüglich einer der Hauptträgheitsachsen - hier offensichtlich die Achsen, die durch die Flächenmittelpunkte gehen - bestimmt hast, hast Du auch schon den Trägheitstensor in der Hauptachsenbasis. Denn in dieser Basis stehen in der Diagonale die Trägheitsmomente bez. der Hauptachsen, die Nichtdiagonalelemente sind gleich null.

Das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse

ist dann

Damit wird auch ohne zu rechnen klar, dass auch bez. einer Achse durch die Diagonale (und jeder anderen Achse) das Trägheitsmoment dasselbe ist wie bez. einer Hauptträgheitsachse. Der Trägheitstensor bei einem Würfel ist ja bis auf einen Faktor die Einheitsmatrix, und