DGL gedämpfter Oszillator, Hamiltonfunktion

cookie97 · Anmeldungsdatum: 13.01.2021 Beiträge: 10

Meine Frage:
Es ist die Differentialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators

Gegeben.

(a) Zeigen Sie, dass diese Differentialgleichung sich als Euler-Lagrange-Gleichung mit einer explizit zeitabhängigen Lagrangefunktion schreiben lässt. Machen Sie dazu für die Lagrangefunktion den Ansatz

und bestimmen Sie

.

(b) Bestimmen Sie den zu

kanonisch konjugierten Impuls

und die Hamiltonfunktion

Meine Ideen:
Mir ist bekannt, dass die Hamiltonfunktion genau dann nicht explizit von der Zeit abhängt, wenn die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhängt. Allerdings weiß ich nicht, wie man das hier zu Nutze macht. Wie löst man das hier weiter und zeigt man das mit der DGL in a)?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Zu a): Setze in die Euler-Lagrange-Gleichung

den gegebenen Ansatz ein. Es resultiert eine Gleichung, in der

und

auftreten. Wenn Du die Gleichung vergleichst mit der gegebenen Bewegungsgleichung des gedämpften HO, so wird klar, wie die Funktion F(t) aussehen muss.

Zu b)
Der zu x kanonisch konjugierte Impuls ist

Die Hamiltongleichung erhältst Du mit

wobei die

durch

auszudrücken sind.

cookie97 · Anmeldungsdatum: 13.01.2021 Beiträge: 10

Ich verstehe, vielen Dank!