Zwei wechselwirkende Teilchen

Smeagoll · Gast

Meine Frage:
Hier gehts mir hauptsächlich darum, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe:

Zwei teilchem mit Masse m sind in einem 3D anisotropen harmonischen Oszillatorpotential mit

für die 3 Raumrichtungen x,y und z.
Die Ein-Teilchen-Eigenzustände der jeweiligen eindimensionalen Potentiale seien:

,

und

wobei n,k,l die jeweiligen Eigenzustände seien.

Meine Ideen:
Gebe normierte zwei-teilchen-Gesamteigenfunktion

und Eigenenergien an für unterscheidbare, spinlose Teilchen.

Da sie unterscheidbar sind, sollte der gesamtzustand ja einfach die Multiplikation der beiden Ein-Teilchenzustände sein. Also:

Mit den Energien:

Jetzt die Gesamtwellenfunktion des zweiten angeregten Zustands für Teilchen mit Spin 0, die ununterscheidbar sind, es handelt sich diesmal also um Bosonen. Die Gesamtfunktion muss also symmetrisch sein.

Hier habe ich mir gedacht (stimmt es?), dass im zweiten angeregten Zustand alle Zustände im 0 Zustand sind, außer n1 und n2, da

die kleinste Frequenz und somit auch die niedrigsten Energien von dieser frequenz abhängen müssen.

Mit der Formel für die Bosonen-WF habe ich dann folgendes erhalten mit

Und schließlich noch die normierte Gesamt-WF des grundzustands für spin 1/2 teilchen die ununterscheidbar sind und antiparallel ausgerichtete spins haben.

Den SPinanteil der wellenfunktion weiß man sofort, das ist einfach das SPinsingulett wie bei Helium. Die Orts-Wf muss also symmetrisch sein, also sollte der grundzustand einfach das produkt der beiden Einteilchenzustämnde mit n=k=l=0 sein.

Mit EinteilchenGrundzustand:

wobei lambda eine konstante ist, die aber vom omega abhängt, also für die 3 raumrichtungen unterschiedlich sind.

Damit bekomme ich:

Anschließend wollte ich noch mit Störungstehorie erster Ordnung die Energiekorrektur für das Potential

berechnen. Dabei wird ja der Spinanteil schonmal einfach 1 ergeben, der Vorfaktor der eben bestimmten gesamtwellenfunktion bekommt noch ein Quadrat weil ich ja die komplex konjugierte mit der "normalen" Funktion multipliziere und darüber integriere. Beim Integral über eins der beiden

werden die Koordinaten des einen Teilchens gleich denen des anderen, so dass man in allen exponenten den Faktor 2 bekommt und anschließend nur noch drei simple Gaußintegrale lösen muss.

Fallen euch irgendwelche Fehler in meiner Lösung auf, habe ich alles richtig verstanden eurer Meinung nach?