Trajektorie (Dreikörperproblem mit gleichseitigem Dreieck)

PhysikStudent(2.S) · Gast

Meine Frage:
Hallo,
ich sitze hier (seit Langem) vor einer Aufgabe und komme leider kein Stück weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Die Trajektorie von m1 lässt sich darstellen durch:

(mit a=e=const. und

als radialen Einheitsvektor).
Gesucht sind nun die Trajektorien

, wobei die drei Punkte(m1,m2,m3)sich auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks befinden sollen.

In der a) habe ich gezeigt, dass sich die Bewegungsgleichungen der 3 Punkte entkoppeln lassen und in dieser Form schreiben lassen:

(falls das hier etwas bringt)

Meine Ideen:
Leider bin ich wirklich nicht weit gekommen in meinen Überlegungen, trotzdem sage ich mal das, was ich mir gedacht habe: Die Trajektorien von m2 und m3 hängen von der gegeben Trajektorie von m1 ab. Wenn ich den Winkel zwischen m1,m2 und m1,m3 wüsste, dann müsste ich eigentlich die Position von m2 und m3 bestimmen können mit der gegebenen Trajektorie von m1, indem ich anstatt Theta einmal Theta + Winkel(m1,m2) und einmal Theta - Winkel(m1,m3) einsetze (Das wird aus der Skizze klar, die gegeben war, aber ich weiß leider nicht, wie man die hier einfügen kann). Aber ich glaube das reicht noch nicht, denn im Hinweis stand noch, dass der Kosinussatz hilfreich sein könnte. Allerdings wäre es vielleicht ein Anfang.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

ist die Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten mit dem linken Brennpunkt als Pol.

ist die große Halbachse,

die numerische Exzentrizität und

der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt.

Die 3 Massen haben dieselbe Bahn, nur jeweils um

bzw

um den Mittelpunkt gedreht. Um die Drehung zu bewerkstelligen, verschiebt man den Mittelpunkt der Ellipse in den Nullpunkt, dreht und schiebt dann wieder zurück.
Sei

die Drehmatrix für

. Dann hat man

PhysikStudent(2.S) · Gast

Hallo,

erstmal vielen Dank für die Antwort!
Ich hätte noch eine Frage:
Das Prinzip ist mir jetzt klar, man verschiebt den Mittelpunkt der Ellipse in den Ursprung und dreht dann einmal mit der Drehmatrix

bzw:

Auf die Winkel kommt man, indem man einfach 360° durch 3 teilt, da das Dreieck gleichseitig ist. Danach macht man die Verschiebung wieder rückgängig.

Meine Frage: Wie kommt man auf die Verschiebung c? c ist ja gerade der Abstand von Brennpunkt (also hier Pol) zum Mittelpunkt. Aber wenn ich die Ellipse um c verschiebe, dann liegt doch M nur dann im Nullpunkt, wenn der Pol davor auf dem Nullpunkt lag, oder nicht? Aber das muss ja nicht so sein.

Ansonsten nochmal vielen Dank und LG

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

PhysikStudent(2.S) · Gast

Achso okay, dann ist es klar. Vielen Dank!

Momomarqui · Gast

Wie genau hast du die Aufgabe a gemacht? ist mir nicht ganz klar