Bedeutung der Legendre-Trafo

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 500

Was genau bedeutet die Legendre-Transformation in der Physik?

Die Legendre-Transformation ist eine Variablen-Transformation die häufig in der Thermodynamik oder in der Analytischen Mechanik zum Einsatz kommt.

Allerdings verstehe ich ihre Signifikanz nicht. Was ist der Unterschied zu einer "normalen" Koordinatentransformation, wie der von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten. Dabei handelt es sich ja im Prinzip auch einfach um eine Variablentransformation.

In welchen Fällen verwendet man also die Legendre-Transformation in der Physik und warum?

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Bei der Legendre-Transformation nimmt man eine Funktion f(x) und konstruiert eine andere Funktion g von der Variablen f'. Das ganze hat oberflächlich erstmal wenig mit einer Transformation auf Kugelkoordinaten zu tun, bei der man lediglich Punkte x transformiert.

Man kann natürlich die Legendre-Transformation auch als spezielle Koordinatentransformation

in einem abstrakten Raum auffassen, dessen Punkte die unabhängigen Variablen x, die abhängigen Variablen f und deren Ableitungen erster Ordnung

nach x repräsentieren. Die spezielle Form dieser Abbildung LT hat dann zur Folge, daß sie den differentiellen Zusammenhang

zwischen den Variablen invariant läßt. Diese Eigenschaft ist natürlich notwendig, damit

tatsächlich eine Funktion von p mit der Ableitung

ist. Diese Eigenschaft ist ja genau, was man in den genannten Fällen benötigt: in der Mechanik will man von der geschwindigkeitsabhängigen Lagrangefunktion zur impulsabhängigen Hamiltonfunktion übergehen. In der Thermodynamik will man ein Potential (also eine Zustandsgröße), das von einer extensiven Variablen abhängt in ein anderes Potential transformieren, das von einer intensiven Größe abhängt oder umgekehrt.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 500

ok danke dir, das beantwortet meine Frage fürs erste.