Perle auf Spirale

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 330

Meine Frage:
Hey ich bei folgender Aufgabe komme ich bucht weiter(siehe Anhang)

Meine Ideen:
Ebenfalls km Anhang seht ihr meine Idee zu a) bin mir aber da absolut unsicher ob das stimmt. Vorallem was meine zwangsbedingjbg angeht. Und stimmt das ich das Potenzial als null annehmen kann?

Zur b) bin bissle lost. Sind meine bewegungshleichungen nicht das was och in der a raushabe?
C

C und d ,USS ich erst noch anschauen

bronkowitz · Anmeldungsdatum: 15.09.2019 Beiträge: 60

also ich komme zumindest auch auf deine Gleichungen.
Ich vermute unter b) ist gemeint, dass man Lambda eliminiert und dann nur noch 2 Bewegungsgleichungen hat. Wie man das allerdings analytisch löst, weiß ich auch nicht grübelnd

(zumindest kartesisch, in ZKO ist es vermutlich einfacher)
sorry, war jetzt noch keine große Hilfe...

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 330

Aber danke für deine Bestätigung:)

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ja, die Zwangsbedingung ist richtig, soweit auch die Lagrange-Gleichungen 1. Art in kartesischen Koordinaten.
Schreibt man die Zwangsbedingung in der Form

und dann wie Du

und analog y, ergäben sich allerdings Minuszeichen:

Zu b): Um die Bewegungsgleichungen zu erhalten, muss nach lambda aufgelöst werden. Ein Weg dazu ist folgender: bilde die zweifache Ableitung

Für die darin auftretenden

setze wieder die Lagrange-Gleichungen 1. Art ein.

Zu c): Polarkoordinaten verwenden. Aus der Zwangsbedingung folgt sofort die Lösung für die rho-Koordinate:

Für phi sollte sich eine Differentialgleichung wie

ergeben. Diese lässt sich für die gegebenen Anfangsbedingungen einfach lösen.
Aus der Lösung (rho(t), phi(t)) ergibt sich lambda(t) und damit auch die Zwangskraft:

Zu d): Hier verstehe ich nicht genau, was verlangt ist. Eine äussere Kraft wäre abhängig von den Geschwindigkeiten und somit von den Anfangsbedingungen.

Noch eine Bemerkung: Der Aufgabentext "Eine Perle gleitet reibungsfrei auf einer Spirale (...)" suggeriert, dass die Perle auf einer festen Führung gleiten würde und nur Kräfte normal zur Bewegungsgleichung wirken. Das ist hier aber nicht der Fall. Die Führung hätte eine zeitlich wariable Form. Aus der Zwangsbedingung folgt, dass die Zwangskraft immer in radialer Richtung wirkt, sie ist also i.a. nicht normal zur Bewegungsrichtung (das wäre nur der Fall für r(t)=const).
Man stellt sich hier m.E. besser vor, die Perle wäre mit einem Faden zum Ursprung verbunden, dessen Länge r(t) zeitlich variert wird.
Da die Zwangskraft nicht normal zur Geschwindigkeit steht, leistet sie Arbeit. Die Energie bleibt somit nicht konstant. Dies liegt daran, dass die Zwangsbedingung explizit zeitabhängig (rheonom) ist.