Perle auf rotierenden Draht Gleichgewichtslage

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 330

Meine Frage:
Hey ihr lieben. Im Anhang seht ihr die Aufgabe und auch die Lösungen aus dem tut. Ich änge nun an der b) und kann absolut nicht nachvollziehen was wir da gemacht haben

Meine Ideen:
Ich verstehe auch nicht so recht wie man jm k,eine auslenkungen entwickelt. Ich wäre so dankbar, wenn sich jmd die Zeit nehmen würde, mir Schritt für Schritt zu helfen, die Aufgabe nachvollziehen zu können.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ist jetzt schon eine gute Woche alt, aber ich war bis vor kurzem im Spital.
Zuerst eine Bemerkung zu Teil a): Hier ist die Musterlösung m.E. unnötig kompliziert. Der Weg über die Hamilton-Funktion ist völlig unnötig. Es wird dann auch immer wieder hin- und hergewechselt zwischen verallgemeinerten Impulsen und verallgemeinerten Geschwindigkeiten.

Die Ruhelage folgt einfach aus der Euler-Lagrange-Gleichung, wobei

gesetzt wird.

Zu b): Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt

Nun wird untersucht, wie die Beschleunigung ändert bei kleinen Auslenkungen

aus der Ruhelage

und

. Die aus der Bewegungsgleichung folgende Änderung der Beschleunigung wird in der Musterlösung mit

bezeichnet.

Der 2. Term auf der rechten Seite von (*) fällt weg, denn für

werden der Term selber sowie aus ihm folgende Beiträge aus den Auslenkungen

gleich null. Für den Rest folgt (hier ist auf der linken Seite der Gleichung in der Musterlösung meiner Meinung nach ein Fehler):

Nun wird Gleichung (*) subtrahiert (vgl. grün unterstrichene Terme in der Musterlösung) und berücksichtigt, dass für eine Gleichgewichtslage gilt

. Der Term mit

fällt weg ("klein mal klein"). Damit ergibt sich

Nun wird wieder eine Fallunterscheidung wie in a) gemacht.

(auch hier ist in der Musterlösung m.E. ein Fehler, es geht schon dimensionsmässig nicht auf).

Das heisst also, dass die Ruhelage instabil ist. Bei einer Auslenkung aus der Ruhelage folgt entweder eine exponentielle Entfernung oder eine harmonische Schwingung um die Ruhelage.

Im Nenner erhalte ich wieder etwas leicht anderes. Bei einer Auslenkung aus der Ruhelage schwingt die Perle harmonisch um die Ruhelage (2-n<0, omega0 ist imaginär).
Falls Fragen sind zu einzelnen Schritten, einfach schreiben.