Faserbündel / Eichtheorie

antaris

Ich habe die letzten Tage im Bezug zum Amplituhedron gelesen und muss leider feststellen, dass ich nur noch mehr verwirrt bin.

- Amplithuedron
- Grassmannmannigfaltigkeit
- Prinzipal- bzw. Hauptfaserbündel
- Eichtheorie
- Gruppentheorie

Wo fange ich an?

In diesem Script steht, dass die Eichfeldtheorie die Zusammenhangsform des Hauptfaserbündels ist. Also habe ich in diese Richtung gelesen. Die meisten Publikationen zu dem Thema sind sehr technisch und abstarkt. Mir fehlt da der Bezug zu etwas realen.

Bei Studysmarter ist die Beschreibung m.E. schon anschaulicher.

So wie ich es verstanden habe, lässt sich das Konzept Faserbündel auf verschiedenste Arten und Weisen anwenden.
Dabei kann zwischen Anwendungen in der Topologie (z.B. Kreis als Basis und Zylinderoberfläche als Faserung; Hopf-Faserung) und in algebraischen Strukturen (z.B. lokale bzw. globale Eigenschaften in topologische Räume) unterschieden werden?

Dann wieder Begriffe die ich erst verstehen muss...Homotopiegruppen, Kohomologie... grübelnd

Mal angenommen durch ein 2-dim. Raster (z.B. ein Metallgitter) leuchtet Licht (flächig) auf ein dahinter aufgehangenes Tuch, dann würde der Schatten des Rasters auf das Tuch projiziert werden.
Wäre in dem Beispiel das 2-dim. Raster die Basis B (Produktraum R x R), das Raster + Tuch und Raum dazwischen der Totalraum E und der Übergang (Morphismus) von B nach E die Faser F?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Fang mit der Elektrodynamik an, und zwar zunächst mal ohne Faserbündel.

antaris

Ok, ich versuche es hiermit.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Nicht schlecht.

Lass' die Integrale weg, für das Verständnis von Faserbündeln ist das irrelevant.

antaris

Ich habe vorhin entschieden, dann doch nochmal von ganz vorne anzufangen.

Einführung in die Theoretische Physik Teil I: Elektrodynamik

Danach dann die Eichung usw.

Eine Frage: Das Symbol

ist der Nabla-Operator? Wie ist dieser zu verstehen bzw. wie wird er angewendet, z.B. bei

(1.11 im hier genannten Script)?

Werden einfach die Ableitungen von

nach

(i: x=1,y=2,z=3) abgekürzt dargestellt? (siehe Definition auf Wiki)

MBastieK · Anmeldungsdatum: 06.10.2012 Beiträge: 1485 Wohnort: Berlin-Wedding

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ja. Die Entsprechung lautet

Also die Ableitungen von phi nach den x^i-Koordinaten liefern die _i-Komponenten des Vektors "nabla phi".

Es ist aber einfacher, wenn wir das kovariant formulieren, d.h. auch E und B zu F zusammenfassen, und das der Anschaulichkeit halber in nur einer Raum- und einer Zeit-Dimension (wobei es speziell in einer Raum-Dimension kein B-Feld gibt). Die Trennung nach Raum und Zeit sowie E und B verkompliziert das ganze unnötig.

antaris

Das Skalar phi wird mit den Einheitsvektoren e multipliziert, was dann das Vektorfeld E ergibt?

Bei Wiki steht:
Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das "Produkt“ von beispielsweise

mit einer rechts davon stehenden Funktion

als partielle Ableitung

interpretiert wird.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Bis auf das "Vektorfeld E" mathematisch allgemeingültig, ja.

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Schick mir mal eine PN mit deiner Mailadresse.

Ansonsten hier:

Wir konzentrieren uns auf eine Zeit- und eine Raum-Dimension mit den Koordinaten

Wir führen entsprechend das Eichfeld

ein. Jede Komponente ist eine Funktion der Koordinaten.

Elektrische und magnetische Felder werden definiert mittels

In n räumlichen Dimensionen läuft i über die Werte 1..n; daher hat das E-Feld immer n Komponenenten.

Wegen der Antisymmetrie von B sind dessen Komponenten für i = k Null. Die Anzahl der unabhängigen Komponenten ergibt sich zu

Für n = 3 liefert das 3, was auf die bekannten 3 Komponenten führt. Für n = 1 erhält man 0, d.h. es existiert kein B-Feld.

Üblicherweise fasst man E- und B-Feld zum Feldstärketensor

zusammen. In kovarianter Notation erhält man kompakt

(die Eigenschaften unter Lorentz-Transformation interessiert im folgenden nicht)

Für den Fall nur einer Raum-Dimension steckt in diesem Tensor nur eine einzige Komponente drin:

Damit erhalten wir die einfachste Eichtheorie, die man sich vorstellen kann.

Bis hierher ok?

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Das Eichfeld A wird zunächst lediglich eingeführt, um den Feldstärke-Tensor F zu vereinfachen. Die Anzahl der Komponenten von F wächst mit n stark an, bereits in drei Raum-Dimensionen liegen 2*3 unabhängige Komponenten vor. Dagegen ist die Anzahl der Komponenten von A immer gleich der Dimension der Raumzeit, also n+1. Außerdem erlaubt es die Eichsymmetrie – sehen wir später – weitere Komponenten von A zu eliminieren. D.h. die Anzahl der in F
enthaltenen Komponenten ist deutlich höher als die Anzahl der Komponenten von A.

Darüber hinaus sind die Gleichungen für A in einer geeigneten Eichung – sehen wir später – deutlich einfacher als die Maxwellschen Gleichungen für F.

MBastieK · Anmeldungsdatum: 06.10.2012 Beiträge: 1485 Wohnort: Berlin-Wedding

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Das Eichfeld A wird zunächst lediglich eingeführt, um den Feldstärke-Tensor F zu vereinfachen. Die Anzahl der Komponenten von F wächst mit n stark an, bereits in drei Raum-Dimensionen liegen 2*3 unabhängige Komponenten vor. Dagegen ist die Anzahl der Komponenten von A immer gleich der Dimension der Raumzeit, also n+1. Außerdem erlaubt es die Eichsymmetrie – sehen wir später – weitere Komponenten von A zu eliminieren. D.h. die Anzahl der in F
enthaltenen Komponenten ist deutlich höher als die Anzahl der Komponenten von A.

Darüber hinaus sind die Gleichungen für A in einer geeigneten Eichung – sehen wir später – deutlich einfacher als die Maxwellschen Gleichungen für F.

antaris

Ok, dann gerne weiter.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Zum Zusammenhang zwischen Eichfeld A und Feldstärke F

Diese ist im Falle der Elektrodynamik definiert gemäß

D.h., F kann vollständig durch A ausgedrückt werden.

Zur Eichtransformation

Diese ist definiert mittels der frei wählbaren Eichfunktion theta

Setzt man die erste Definition ein, so folgt

Die zweite Gleichung folgt, da sich die theta-Terme gegenseitig wegheben.

Für Fermion-Felder oder Wellenfunktionen bzw. Zustandsvektoren in der QM bzw. QFT gelten andere Transformationsvorschriften; für den Begriff des Faserbündels benötigt wir letztere aber nicht.

Zur Eichsymmetrie

Diese besagt, dass sich die Physik unter Eichtransformationen nicht ändert. Insbs. ändern sich die Maxwellschen Gleichungen nicht, d.h. in

sind F und j invariant unter beliebigen Eichtransformationen theta.

Man kann dies formulieren mittels einer sogenannten Äquivalenzrelationen: zu ein und der selben Feldstärke F gehören verschiedene Eichfelder A. Zwei Eichfelder sind äquivalent genau dann, wenn sie durch eine Eichtransformation verknüpft sind:

Betrachtet man die Menge aller Eichfelder, so zerfällt diese in sogenannte Äquivalenzklassen [A]. Zu einer Äquivalenzklasse gehören alle Eichfelder, die im soeben definierten Sinne äquivalent sind. Letztlich ist die Äquivalenzklasse eine Menge

Gehören zwei Eichfelder nicht zur selben Äquivalenzklasse, so bedeutet dies, dass sie nicht durch eine Eichtransformation untereinander verknüpft sind. D.h. sie stellen physikalisch inäquivalente, d.h. unterschiedliche Situationen dar. Um zu prüfen, ob zwei Eichfelder äquivalent sind bzw. nicht äquivalent sind, muss man zeigen, dass es eine Eichfunktion theta existiert bzw. nicht existiert, das sie mittels der obigen Transformation ineinander überführt.

Zur Eichfixierung

Die Menge aller Eichfelder zerfällt in unendlich viele derartige Äquivalenzklassen. In jeder Äquivalenzklasse liegen wiederum unendlich viele Eichfelder, da unendlich viele Eichfunktionen theta zulässig sind.

Die Eichfixierung besteht nun darin, aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Eichfeld auszuwählen, das diese Äquivalenzklasse repräsentiert. Dies erfolgt mittels einer so genannten Eichbedingung.

In der Elektrodynamik ist Letzteres vergleichsweise einfach, in komplizierteren, sogenannten nicht-abelschen, Eichheorien dagegen nicht, da es schwierig bzw. eventuell sogar unmöglich ist, eine Eichbedingung zu finden, die die Forderung "genau ein" erfüllt. Eine Eichfixierung ist unvollständig, wenn sie aus einigen Äquivalenzklasse mehr als nur einen Repräsentanten auswählt, oder sie ist unzulässig, wenn sie aus einigen Äquivalenzklassen keinen Repräsentanten auswählt, d.h. wenn kein Eichfeld die Bedingungen erfüllt.

Soweit mal dazu … heute Abend geht's mit anschaulichen Beispielen weiter …

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Noch schnell ein einfaches Beispiel:

Interessiert man sich nur für die Uhrzeit ohne Datum, z.B. für den Sonnenstand, so definiert die Addition von 24 (Stunden) auf den reellen Zahlen eine Äquivalenzrelation. D.h.

Diese Äquivalenzrelation bildet die Zeit, d.h. die reellen Zahlen, auf den Kreis ab, letztlich auf die Zeigerposition auf dem Zifferblatt einer 24-Stunden-Uhr.

MBastieK · Anmeldungsdatum: 06.10.2012 Beiträge: 1485 Wohnort: Berlin-Wedding

MBastieK · Anmeldungsdatum: 06.10.2012 Beiträge: 1485 Wohnort: Berlin-Wedding

Zusatz- oder Anschluss-Beitrag:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ok, verstanden.

Das funktioniert natürlich, ich bin aber noch nicht an dieser speziellen Stelle.

MBastieK · Anmeldungsdatum: 06.10.2012 Beiträge: 1485 Wohnort: Berlin-Wedding

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

1. Zunächst ein Beweis, warum nicht zwei beliebige Eichfelder immer durch eine Eichtransformation verknüpft sind.

Sei

Dann folgt mittels der gemischten Ableitung

Diese Differentialgleichung für die beiden Funktionen a_0, a_1 hat bis auf eine Integrationskonstante eine eindeutige Lösung. Ist diese Differentialgleichung nicht erfüllt, so existiert kein derartiges theta.

Setzen wir in einer kleinen Umgebung eine jeweils eindeutige Taylorentwicklung für a_0, a_1 an und betrachten deren linearen Term, d.h. die erste Ordnung (die nullte ist aufgrund der Ableitung irrelevant). Dann ist

Für beliebige Funktionen a_0, a_1 sind die beiden Konstanten ebenfalls beliebig und verschieden, aufgrund der Differentialgleichung muss jedoch gelten

Bereits diese einfache Betrachtung zeigt, dass immer Funktionen a_0, a_1 existieren, für die man kein theta finden kann, so dass

identisch erfüllt wäre.

2. Dann ein einfacher Beweis für die Möglichkeit, eine Komponente des Eichfeldes vollständig zu eliminieren. Diese Komponente sei mu_0. Dann konstruiert man theta mittels Integration in mu_0-Richtung

Die Ableitung nach mu_0 im Zuge der Eichtranfsformation eliminiert diese Komponente des Eichfeldes, d.h.

3. Eine Eichtransformation respektiert i.A. nicht die Lorentz-Invarianz.

Man betrachtet als Beispiel für Lorentz-invariante Eichbedingungen die axiale und die Lorentz-Eichung

sowie deren Eichtransformationen

Das neue Eichfeld wird i.A. nicht die jeweilige Eichbedingung respektieren.

4. Zuletzt betrachten wir das Vakuum, d.h. identisch verschwindendes Eichfeld. Dann sind alle Eichfelder

für beliebige theta äquivalent zum Vakuum.

Später geht's dann endlich mit dem Faserbündel los.

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 474

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 474

antaris

@TomS
Ich werde etwas mehr Zeit benötigen das zu verstehen aber ich bin da optimistisch. Mit Fragen stellen werde ich noch bis zum Ende deiner Ausführungen warten, bis der gesamte Kontext erkennbar wird.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

@Telefonmann –

Alles ok, aber das Eichfeld bzw. gauge field ist in allen mir bekannten Darstellungen eine andere Bezeichnung für das Eich- oder Vektorpotential A. Für theta findet man auch den Begriff Eichfunktion.

So geht das auch aus den Zitaten hervor.

Also ja, es geht nur um Begriffe, aber die kenne ich eben anders.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 474

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 474

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Sei A eine beliebige Eichfeld-Konfiguration und

die Eichtransformation.

1. besagt, dass es andere, bzgl. Eichtransfornation nicht äquivalente Eichfeld-Konfiguration A* gibt, so dass

d.h dass kein theta existiert, das beide ineinander überführt:

3. besagt am Beispiel der Lorentz-Eichung:

A erfülle diese Eichbedingung, d.h.

Jedoch existieren zulässige Eichtransformationen, nach deren Anwendung die neue Eichfeld-Konfiguration diese Eichbedingung nicht erfüllt.

D.h. die Eichtransformationen selbst respektieren i.A. nicht die Lorentz-Invarianz, interessanterweise bleiben die physikalisch relevanten Ergebnisse der Theorie dennoch Lorentz-invariant.

Das ist ein absolut nicht-triviales Resultat, dass man nicht alleine mittels Faserbündeln erklären kann.

Zu 4.: Nein, im Vakuum reduzieren sich nicht alle Eichfelder auf ein einziges identisches verschwindendes Eichfeld; das Vakuum entspricht der Äquivalenzklasse aller Eichfelder, die zum identisch verschwinden Eichfeld äquivalent sind.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Nochmal die Zusammenfassung eines Beitrags von weiter oben:

Zur Eichtransformation

Diese ist definiert mittels der frei wählbaren Eichfunktion theta

Zur Eichsymmetrie

Diese besagt, dass sich die Physik unter Eichtransformationen nicht ändert. Zwar sehen diverse Gleichungen je nach gewählter Eichung unterschiedlich aus, sie beschreiben jedoch exakt dieselbe physikalische Situation. Man kann das grob vergleichen mit der Invarianz unter Koordinatensystemen, die zwar einige Gleichungen ändert, jedoch nicht das zu beschreibende physikalische System.

Man kann dies formulieren mittels einer sogenannten Äquivalenzrelationen: Zwei Eichfelder sind äquivalent genau dann, wenn sie durch eine Eichtransformation verknüpft sind:

Betrachtet man die Menge aller Eichfelder, so zerfällt diese in sogenannte Äquivalenzklassen [A]. Zu einer Äquivalenzklasse gehören alle Eichfelder, die im soeben definierten Sinne äquivalent sind. Letztlich ist eine Äquivalenzklasse eine Menge

Existiert zwischen zwei Eichfeldern A und A* keine Eichtransformation theta, die diese ineinander überführt so gehören beide zu zwei verschiedenen Äquivalenzklassen

Gehören zwei Eichfelder nicht zur selben Äquivalenzklasse und sind nicht durch eine Eichtransformation untereinander verknüpft sind, so repräsentieren sie physikalisch inäquivalente, d.h. unterschiedliche Situationen.

Zur Eichfixierung

Die Menge aller Eichfelder zerfällt in unendlich viele derartige Äquivalenzklassen. In jeder Äquivalenzklasse liegen wiederum unendlich viele Eichfelder, da unendlich viele Eichfunktionen theta zulässig sind.

Die Eichfixierung besteht nun darin, aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Eichfeld auszuwählen, das diese Äquivalenzklasse repräsentiert. Dies erfolgt mittels einer so genannten Eichbedingung.

Die Eichfixierung erfolgt durch eine Bedingung an die Eichfelder

so dass für jede Äquivalenzklasse [A] genau eine Lösung existiert. Formal schreibt man das mittels

Die erste Gleichung besagt, dass die Funktion f aus der Äquivalenzklasse [A] eine Eichfeld-Konfiguration auswählt, die [A] repräsentiert. Die zweite Gleichung besagt, dass die Äquivalenzklasse [A] dem sogenannten Orbit aller Eichtransformationen angewandt auf diese eine Konfiguration entspricht. Hat man diese eine Konfiguration, d.h. einen Repräsentanten der Äquivalenzklasse, so kann man daraus die gesamte Äquivalenzklasse rekonstruieren.

Zum Faserbündel

Die Menge aller Eichfelder zerfällt in Äquivalenzklassen, innerhalb derer alle Eichfelder mittels Eichtransformationen ineinander überführt werden können, wobei die Äquivalenzklassen untereinander disjunkt sind. Mittels einer Eichfixierung f wird aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Repräsent ausgewählt. Umgekehrt erhält man die Äquivalenzklasse als Orbit des Repräsentanten.

D.h. für die Menge aller Eichfelder gilt

Die letzte Menge rechts ist die Menge aller inäquivalenten Eichfeld-Konfiguration bzgl. einer gewählten Eichung f. Die Eichinvarianz einer physikalischen Theorie besagt, dass wir in diese Theorie eine beliebige Eichfunktion f einführen und die Theorie in der so definierten Untermenge betrachten dürfen, wobei jede Eichfunktion f auf identische physikalische Schlussfolgerungen führt.

Diese Zusammenhänge entsprechen im Wesentlichen der Struktur, die die Physiker diskutieren, und die die Mathematiker als sogenanntes Faserbündel formalisiert haben. Ich schreibe später noch eine Art Wörterbuch zwischen der Physik und der Mathematik.

Am Beispiel der Zeit und der Uhr

Die physikalisch relevante Situation wird eindeutig beschrieben mittels einer Angabe wie P = "die Sonne steht im Zenit über Nairobi".

Nun führt man unterschiedliche Zeitzonen Z ein, so dass bezüglich jeder Zeitzone diese Aussage P unterschiedlich repräsentiert wird. D.h. je Zeitzone existiert eine Zeitfunktion T , so dass t = T(P;Z') einen Wert t für die Uhrzeit bezogen auf die Zeitzone Z liefert, die den physikalischen Sachverhalt P repräsentiert.

Die Eichsymmetrie besteht nun in einem Wechsel der Zeitzone, d.h. von Z nach Z'. Dies ändert die o.g. Zeit zu T(P;Z'), ohne dass sich an dem Sachverhalt P etwas geändert hätte. Ein anderer physikalischer Sachverhalt wie Q = "die Sonne steht im Zenit über Bogota" würde dagegen beschrieben werden mittels T(Q;Z) bzw. T(Q;Z').

Die Eichfixierung besteht in der Wahl einer Zeitzone, so dass jedem physikalischen Sachverhalt P, Q … genau eine Zeit für diese Zeitzone zugewiesen wird.

Der Orbit O für eine Zeit T(P;Z) entspricht der Menge aller Zonenzeiten {T(P;Z), T(P;Z'), T(P;Z'') …}.

Um inäquivalente physikalische Situationen zu verstehen, müssen wir etwas kompliziertere Sachverhalte betrachten, zum Beispiel P = "Die Sonne steht im Zenit über Nairobi und der Mond steht im Zenit über Nairobi" sowie Q = "die Sonne steht im Zenit über Nairobi und der Mond steht im Zenit über Bogota". Beides mag irgendwann einmal zutreffen, jedoch existieren sicherlich keine Zeitzonen Z, Z' – d.h. keine Eichtransformation zwischen Z und Z' – so dass T(P;Z) = T(Q;Z') zuträfe, dass also P und Q im physikalischen Sinne gleichzeitig tatsächlich zuträfe.