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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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 antaris Verfasst am: 25. Nov 2024 18:17 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
1. besagt, dass... |
Verstanden
| Zitat: | | 3. besagt am Beispiel der Lorentz-Eichung... |
Verstanden
| Zitat: | | D.h. die Eichtransformationen selbst respektieren i.A. nicht die Lorentz-Invarianz, interessanterweise bleiben die physikalisch relevanten Ergebnisse der Theorie dennoch Lorentz-invariant. |
Weil die Eichtransformation die betreffende Theorie nicht ändert bzw. ändern darf und somit dessen Lorentz-Invarianz unberührt bleibt?
| Zitat: | | Das ist ein absolut nicht-triviales Resultat, dass man nicht alleine mittels Faserbündeln erklären kann. |
Mir scheint es ähnlich zu sein, wie eine Maschine mit moderneren komponenten umzubauen (z.B. Retrofit), ohne dessen Funktion auf irgendeine Art und Weise zu verändern.
| Zitat: | | Zu 4.: Nein, im Vakuum reduzieren sich nicht alle Eichfelder auf ein einziges identisches verschwindendes Eichfeld; das Vakuum entspricht der Äquivalenzklasse aller Eichfelder, die zum identisch verschwinden Eichfeld äquivalent sind. |
Ok auch verstanden.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1391
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 25. Nov 2024 19:04 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Zum Faserbündel
Die Menge aller Eichfelder zerfällt in Äquivalenzklassen, innerhalb derer alle Eichfelder mittels Eichtransformationen ineinander überführt werden können, wobei die Äquivalenzklassen untereinander disjunkt sind. Mittels einer Eichfixierung f wird aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Repräsent ausgewählt. Umgekehrt erhält man die Äquivalenzklasse als Orbit des Repräsentanten.
D.h. für die Menge aller Eichfelder gilt
} = \Omega \bigcup_\nu A_f^{(\nu)} = \Omega \, \mathcal{A}_f )
Die letzte Menge rechts ist die Menge aller inäquivalenten Eichfeld-Konfiguration bzgl. einer gewählten Eichung f. Die Eichinvarianz einer physikalischen Theorie besagt, dass wir in diese Theorie eine beliebige Eichfunktion f einführen und die Theorie in der so definierten Untermenge betrachten dürfen, wobei jede Eichfunktion f auf identische physikalische Schlussfolgerungen führt.
Diese Zusammenhänge entsprechen im Wesentlichen der Struktur, die die Physiker diskutieren, und die die Mathematiker als sogenanntes Faserbündel formalisiert haben. Ich schreibe später noch eine Art Wörterbuch zwischen der Physik und der Mathematik. |
Also entspricht das Faserbündel allen äquivalenten Überführungen von  nach  ?
Die einzelne Faser entspricht je einer Überführung pro f?
Ok ein Beispiel: In einer Kiste liegen viele Bücher. Unter den Büchern sind einige mit gleichem Titel, die je in verschiedenen Sprachen geschrieben sind.
Die einzelnen Buchtitel sind die Äquivalenzklassen und mittels Übersetzung von einer zur anderen Sprache wird eine Art Eichtransformation durchgeführt, da der Inhalt sich durch das übersetzen nicht ändert.
Bücher mit verschiedene Titel sind untereinander disjunkt, da der Inhalt nach dem übersetzen nicht äquivalent ist, da der inhalt je ein anderer ist. Der Orbit entspricht der Menge der Sprachen in denen die jeweiligen Titel geschrieben wurden.
| Zitat: | Am Beispiel der Zeit und der Uhr
...
Um inäquivalente physikalische Situationen zu verstehen, müssen wir etwas kompliziertere Sachverhalte betrachten, zum Beispiel P = "Die Sonne steht im Zenit über Nairobi und der Mond steht im Zenit über Nairobi" sowie Q = "die Sonne steht im Zenit über Nairobi und der Mond steht im Zenit über Bogota". Beides mag irgendwann einmal zutreffen, jedoch existieren sicherlich keine Zeitzonen Z, Z' – d.h. keine Eichtransformation zwischen Z und Z' – so dass T(P;Z) = T(Q;Z') zuträfe, dass also P und Q im physikalischen Sinne gleichzeitig tatsächlich zuträfe. |
Wäre der Vergleich der Zeit bzw. der Zeitzonen zwischen den Planeten des Sonnensystem ein anschauliches und nicht wirklich kompliziertes Beispiel für unterschiedliche Äquivalenzklassen (je Planet)?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2024 22:17 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | D.h. die Eichtransformationen selbst respektieren i.A. nicht die Lorentz-Invarianz, interessanterweise bleiben die physikalisch relevanten Ergebnisse der Theorie dennoch Lorentz-invariant. |
Weil die Eichtransformation die betreffende Theorie nicht ändert bzw. ändern darf und somit dessen Lorentz-Invarianz unberührt bleibt? |
Einerseits ist es trivial, dass es so sein muss, denn eine Theorie wäre natürlich falsch, wenn eindeutig beobachtbare, physikalische Größen in der Theorie von einer willkürlichen mathematischen Festlegung abhängen würden.
Andererseits war es im Rahmen quantisierter Eichtheorien nicht einfach, dies schlüssig zu zeigen.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 25. Nov 2024 23:51 Titel: |
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Ich sehe den Zusammenhang nicht... meine Frage ist sehr viel weiter. Da geht es um Eichsymmterien und Loretzsymmetrien im Allgemeinen... ganz ohne Eichfixierung... kannst du das ausführen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 26. Nov 2024 06:53 Titel: |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Ich erinnere mich dunkel, dass Eichtransformationen im Rahmen quantisierter Feldtheorien von Spin-1-Teilchen essentiell zu sein scheinen (Weinberg Vol.I (5.9.31)). |
Siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Gupta-Bleuler-Formalismus |
Was so für nicht-abelsche nicht funktioniert.
1950 Gupta-Bleuler formalism
1953 Yang–Mills theory
~ 1964 GSW theory
~ 1965 SU(3) color
1965 Fadeev-Popov trick
~ 1974 BRST quantization
~ 1979 Gribov ambiguities
1981 Batalin–Vilkovisky formalism
Ich würde sagen, ein wirkliches Verständnis wurde erst Mitte bis Ende der 70er erreicht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 26. Nov 2024 07:08 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Also entspricht das Faserbündel … |
So einfach ist das nicht.
Was ich oben geschrieben habe, also alle Zusammenhänge, sind in etwa das, was ein Mathematiker unter einen Faserbündel versteht. Das ist aber noch bei weitem keine mathematisch präzise Definition.
Lass' mich mal eine Art Übersetzung zusammenstellen.
Dein Beispiel mit den Büchern passt einigermaßen zu den Äquivalenzklassen, allerdings fehlt eine mathematische Struktur, die es erlaubt, darauf etwas zu berechnen; daher führt es uns bezüglich der Faserbündel nicht weiter.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 26. Nov 2024 09:00 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Ich sehe den Zusammenhang nicht... meine Frage ist sehr viel weiter. Da geht es um Eichsymmterien und Loretzsymmetrien im Allgemeinen... ganz ohne Eichfixierung... kannst du das ausführen? |
Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es bei der QED (Spin-1) recht spezielle Eichverfahren in der Quantenfeldtheorie gibt. Weitere sind auch noch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/R%CE%BE-Eichung#Feynman-Eichung aufgelistet. Diese Eichungen sind laut Artikel lorentz-invariant. Es gibt also beide Fälle bei den Eichungen. Solche die lorentz-invariant sind und solche, die es nicht sind.
Bei der https://de.wikipedia.org/wiki/Coulomb-Eichung würde ich auf nicht-immer-lorentz-invariant tippen, weil mit einer geeigneten Transformation die Divergenzfreiheit der Potentiale nicht immer gelten sollte.
Zuletzt bearbeitet von Telefonmann am 26. Nov 2024 09:07, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1391
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 26. Nov 2024 09:02 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Also entspricht das Faserbündel … |
So einfach ist das nicht.
Was ich oben geschrieben habe, also alle Zusammenhänge, sind in etwa das, was ein Mathematiker unter einen Faserbündel versteht. Das ist aber noch bei weitem keine mathematisch präzise Definition. |
Ja, wenn dann erstmal nur für das prinzipielle Verständnis
| Zitat: | Lass' mich mal eine Art Übersetzung zusammenstellen.
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Gerne.
| Zitat: | | Dein Beispiel mit den Büchern passt einigermaßen zu den Äquivalenzklassen, allerdings fehlt eine mathematische Struktur, die es erlaubt, darauf etwas zu berechnen; daher führt es uns bezüglich der Faserbündel nicht weiter. |
Richtig. Das dachte ich mir schon.
Ähnliches könnte wohl mathematisch besser z.B. im Bezug zu den Farben betrachtet werden.
eindeutige Farbe -> Äquivalenzklasse
Hex-Codes, Dezimal-Codes, RGB-Codes, Wellenlänge ... -> die Eichung
Da ließe sich bestimmt eine mathematische Struktur finden aber wenn ich das Prinzip grundsätzlich schon verstanden habe, dann ist das ja schon was.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 26. Nov 2024 10:47 Titel: |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Ich sehe den Zusammenhang nicht... meine Frage ist sehr viel weiter. Da geht es um Eichsymmterien und Loretzsymmetrien im Allgemeinen... ganz ohne Eichfixierung... kannst du das ausführen? |
Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es bei der QED (Spin-1) recht spezielle Eichverfahren in der Quantenfeldtheorie gibt. Weitere sind auch noch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/R%CE%BE-Eichung#Feynman-Eichung aufgelistet. Diese Eichungen sind laut Artikel lorentz-invariant. Es gibt also beide Fälle bei den Eichungen. Solche die lorentz-invariant sind und solche, die es nicht sind.
Bei der https://de.wikipedia.org/wiki/Coulomb-Eichung würde ich auf nicht-immer-lorentz-invariant tippen, weil mit einer geeigneten Transformation die Divergenzfreiheit der Potentiale nicht immer gelten sollte. |
Danke.
Dazu einige Kommentare:
Ja, sowohl kovariante als auch nicht-kovariante Eichbedingungen sind zulässig. Beispiele für letzteres sind die temporale Eichung (Weyl-Eichung) oder die Coulomb-Eichung.
Da man mittels Eichtransformationen zwischen diesen Eichungen wechseln kann, sind offensichtlich Eichfunktionen zulässig, die die Kovarianz nicht respektieren, d.h. deren Funktion theta kein Lorentz-Skalar ist.
Das interessante Ergebnis ist aber, dass die unter Verwendung nicht-kovarianter Eichbedingungen formulierte Theorie dennoch auf physikalische Ergebnisse führt, die Lorentz-kovariant sind. Z.B. ist das Spektrum der Operatoren H und P sowie die konstruierten Fock-Zustände der QED Lorentz-kovariant, d.h. es gilt z.B. p² - m² = 0, insbs. erfüllen die Operatoren H, P, J, K die Poincare-Algebra mit einer unitären Darstellung auf dem Fock-Raum.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2024 09:03 Titel: |
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Der Zusammenhang zwischen der Mathematik der Faserbündel und der Physik der Eichtheorien wird in dem Buch Geometry, Topology and Physics von Nakahara gut dargestellt.
Anbei ein kurzes Glossar:
Basisraum: Raumzeit-Mannigfaltigkeit
Faser: Interner Symmetrie-Raum
Faserbündel: Kombination aus Raumzeit und Symmetrie-Raum
Hauptfaserbündel oder G-Bündel: Faserbündel, in dem die Faser der Eichgruppe G selbst entspricht
Assoziiertes Bündel: Faserbündel, in dem die Faser nicht G sondern eine Darstellung von G entspricht, z.B. für Materiefelder, die unter G transformieren
Schnitt: Eichbedingung bzw. -fixierung im Hauptfaserbündel; legt die Felder in den assoziierten Bündeln fest
Spezieller Diffeomorphismus auf dem Faserbündel: Eichtransformation
Zusammenhang: kovariante Ableitung zwischen benachbarten Punkten im Bündel, definiert mittels des Eichfeldes, z.B. Photon- oder Gluon-Feld
Krümmung: Krümmung im Faserbündel *, Feldstärketensor z.B. des elektromagnetischen oder des Gluon-Feldes
Symmetriegruppe G auf den Fasern: Eichgruppe der Theorie, z.B. U(1), SU(N)
* bei üblicherweise flacher Raumzeit
Folgendes ist zum Verständnis essenziell: Der Physiker denkt bottom-up und betrachtet Felder immer als lokal definierte Funktionen, die für einen Punkt p einer Mannigfaltigkeit M gewisse Werte liefern; d.h. er denkt sich die Felder als über der Raumzeit definiert:
)
Die Mathematik der Faserbündel geht exakt andersherum vor, nämlich top-down: fundamental ist eine topologische Mannigfaltigkeit E aus der man durch geeignete Abbildungen die Mannigfaltigkeit der Raumzeit M oder Felder auf der Raumzeit gewinnt, letztere durch einen speziellen Schnitt s durch das Bündel:
 = \pi^{-1}(p))
 = s(p))
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Nov 2024 11:55, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 27. Nov 2024 12:50 Titel: |
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Das sind für Laien die richtigen Tipps  , um eine erste Vorstellung über die thematisierten Begriffe zu vermitteln. Bei Weinberg und Nakahara würde ich keine Kaufempfehlung für Laien aussprechen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2024 15:11 Titel: |
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Ich finde nichts einfacheres.
Laien sind wahrscheinlich schon mit der Präsentation der Eichtheorie in der Darstellung der Physiker überfordert. Die Mathematiker setzen mit den Faserbündeln nochmal eins drauf – und niemand macht sich die Mühe, beides wirklich zusammenzubringen.
Bei Nakahara braucht's einige Dutzend Seiten für das Thema – wenn man schon die erste Hälfte des Buches gelesen und verstanden hat. Ich kann's auch nicht besser erklären, also darfst du gerne ran 🙃
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2024 16:26 Titel: |
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Sieht gut aus.
Eine Anmerkung noch: Ich habe in meiner Diplomarbeit sowie später zu nicht-abelschen Eichtheorien und deren nicht-störungstheoretischer Quantisierung im Hamilton-Formalismus gearbeitet. Seminare und das Buch von Nakahara habe ich parallel gehört bzw. gelesen. Im Kern habe ich damit aus mathematischer Sicht besser verstanden, was ich als Physiker tue; wirklich gebraucht habe ich das nie.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 27. Nov 2024 17:52 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Mathematiker setzen mit den Faserbündeln nochmal eins drauf – und niemand macht sich die Mühe, beides wirklich zusammenzubringen. |
Die Mathematiker interessieren sich naturgemäß eher für die mathematische Struktur einer Theorie und helfen dem Physiker dann dabei die benötigten Begriffe präziser zu verwenden.
Ein Beispiel wäre die kovariante Ableitung der ART und bei den Eichtheorien. Diese hängen eng mit dem https://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenhang_(Prinzipalb%C3%BCndel) des zugehörigen Prinzipalbündels zusammen. Prof. Schuller erklärt das ausführlich in den Vorlesungen 21 und 22.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 27. Nov 2024 18:49 Titel: |
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Ich habe nun viel zu lesen und Videos anzuschauen. Das wird Zeit brauchen.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 27. Nov 2024 19:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Hauptfaserbündel oder G-Bündel: Faserbündel, in dem die Faser der Eichgruppe G selbst entspricht |
Dazu hatte ich schon gelesen (vom Amplituhedron ausgehend, siehe Beitrag 1) und dabei kamen Fragen auf, die mich dazu veranlassten diesen Thread zu starten.
Laut Wiki ist Hauptfaserbündel = Prinzipalfaserbündel = Prinzipalbündel?
https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptfaserb%C3%BCndel
| Zitat: | | In der Mathematik ist das Hauptfaserbündel, Prinzipalfaserbündel bzw. Prinzipalbündel ein Konzept der Differentialgeometrie, mit dem getwistete Produkte formalisiert werden und das unter anderem in der Physik zur Beschreibung von Eichfeldtheorien und speziell Yang-Mills-Feldern verwendet wird. |
Der Einwand seitens TomS im Philosophie Thread war ja, dass mit dem Amplituhedron eventuell hochrelativistische Streuprozesse berechnet werden können aber keine gebundenen Zustande. Ich habe versucht zu verstehen warum das so ist. Also eigentlich ist das die Frage, die zu diesem Thread geführt hat.
https://www.physikerboard.de/ptopic,404476.html#404476
| Zitat: | | Das Amplituhedron funktioniert heute jedoch nur für SUSY-Yang-Mills im planaren Limes u.ä., nicht jedoch z.B. in der QCD mit SU(3) bei endlicher Kopplung und massiven Quarks. Heißt, ultra-relativistische Streuprozesse kann man evtl. berechnen, gebundene Zustände jedoch nicht. |
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Zuletzt bearbeitet von antaris am 27. Nov 2024 19:09, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2024 19:05 Titel: |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Mathematiker setzen mit den Faserbündeln nochmal eins drauf – und niemand macht sich die Mühe, beides wirklich zusammenzubringen. |
Die Mathematiker interessieren sich naturgemäß eher für die mathematische Struktur einer Theorie und helfen dem Physiker dann dabei die benötigten Begriffe präziser zu verwenden. |
Kein Einwand.
Aber wie so oft haben die Physiker ihre eigene Aufgaben ohne die Mathematiker erledigt:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | 1950 Gupta-Bleuler formalism
1953 Yang–Mills theory
~ 1964 GSW theory
~ 1965 SU(3) color
1965 Fadeev-Popov trick
~ 1974 BRST quantization
~ 1979 Gribov ambiguities |
Ich habe z.B. bei GSW, Veltman, 't Hooft et al. nix zu Faserbündeln gelesen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2024 19:11 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | Dazu hatte ich schon gelesen (vom Amplituhedron ausgehend, siehe Beitrag 1) und dabei kamen Fragen auf, die mich dazu veranlassten diesen Thread zu starten.
Der Einwand seitens TomS im Philosophie Thread war ja, dass mit dem Amplituhedron eventuell hochrelativistische Streuprozesse berechnet werden können aber keine gebundenen Zustande. Ich habe versucht zu verstehen warum das so ist. Also eigentlich ist das die Frage, die zu diesem Thread geführt hat. |
Das wäre eine völlig andere Frage und ein anderer Thread.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 27. Nov 2024 20:06 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das wäre eine völlig andere Frage und ein anderer Thread. |
Das kann schon sein. Ich bin beim lesen immer wieder bei den Faserbündel bzw. den Fasern angekommen, wie z.B. hier:
https://inspirehep.net/literature/1822810
Dann fand ich das Script, in dem...
| Beitrag 1 hat Folgendes geschrieben: | | ...steht, dass die Eichfeldtheorie die Zusammenhangsform des Hauptfaserbündels ist. Also habe ich in diese Richtung gelesen. Die meisten Publikationen zu dem Thema sind sehr technisch und abstrakt. |
In den Publikationen zum Amplituhedron wird auf die Grassmann-Mannigfaltigkeit und von dort auf die Prinzipalbündel (also Hauptfaserbündel) verwiesen, die "in der Physik zur Beschreibung von Eichfeldtheorien und speziell Yang-Mills-Feldern verwendet wird".
https://de.wikipedia.org/wiki/Gra%C3%9Fmann-Mannigfaltigkeit#Klassifizierender_Raum_f%C3%BCr_Prinzipalb%C3%BCndel
Darum Eingangs die Frage: "Wo fange ich an?"
Ich dachte die Eichtheorie bzw. die Faserbündel wären in dem Zusammenhang ein guter Start. Mir wird aber so langsam klar wie komplex die Thematik ist.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2024 20:55 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Darum Eingangs die Frage: "Wo fange ich an?" |
Sicher nicht beim Amplituhedron.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ich dachte die Eichtheorie bzw. die Faserbündel wären in dem Zusammenhang ein guter Start. |
Bei der Eichtheorie fängst du an, wo ich dich in diesem Thread hinstupsen wollte - bei der Elektrodynamik in 1+1 Dimensionen. Bei den Faserbündeln kann es nicht um mehr als eine Idee davon gehen, dass Raumzeit und Felder in einem größeren Konzept gemeinsam betrachtet werden können. Die Nobelpreisträger zu GSW und QCD kamen allesamt ohne sie aus, und diejenigen, die sich intensiv mit ihnen befassen, haben noch nichts nobelpreiswürdiges herausgefunden ... sieh das eher als Abrundung oder Ausblick denn als Startpunkt.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Mir wird aber so langsam klar wie komplex die Thematik ist. |
Das liegt auch daran, dass du dir selbst exzentrische Literatur zusammensuchst.
Wenn jemand Autofahren lernen will, fängt er zuvor meist schon als Kind mit dem Dreirad an, nichts als Testpilot für Überschall-Kampfflugzeuge.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1391
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 27. Nov 2024 21:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sicher nicht beim Amplituhedron. |
Ja darum habe ich versucht mich irgendwie zu einem Anfang "durchzuhangeln".
| Zitat: | | Bei der Eichtheorie fängst du an, wo ich dich in diesem Thread hinstupsen wollte - bei der Elektrodynamik in 1+1 Dimensionen. |
Ja das ist dir soweit auch gelungen.
| Zitat: | | Bei den Faserbündeln kann es nicht um mehr als eine Idee davon gehen, dass Raumzeit und Felder in einem größeren Konzept gemeinsam betrachtet werden können. Die Nobelpreisträger zu GSW und QCD kamen allesamt ohne sie aus, und diejenigen, die sich intensiv mit ihnen befassen, haben noch nichts nobelpreiswürdiges herausgefunden ... sieh das eher als Abrundung oder Ausblick denn als Startpunkt. |
| Zitat: | Das liegt auch daran, dass du dir selbst exzentrische Literatur zusammensuchst.
Wenn jemand Autofahren lernen will, fängt er zuvor meist schon als Kind mit dem Dreirad an, nichts als Testpilot für Überschall-Kampfflugzeuge. |
Bei den Prinzipalbündeln geht es doch aber auch um die Lie-Gruppen, die Symmetriegruppen usw.? Ist das nicht für die QCD essentiell? Oder ist das alles nur ein weiterer (isomorpher) Weg ein und dasselbe mit verschiedenen mathematischen Strukturen beschreiben zu können?
Sag du mir was ich lesen bzw. wo ich anfangen soll? Die direkt gestellte Frage hat nicht mehr soviel mit dem Threadtitel gemein aber sie lautet: "Könnte Raum und Zeit aus einer Quantentheorie formuliert werden, sodass die einfachste global gekrümmte Raumzeit (Schwarzschild-Metrik) und die lokal flache Raumzeit (Minkowski) emergent daraus hervorgeht?"
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 28. Nov 2024 06:35 Titel: |
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Ich schlage vor, meinen Beitrag vom 25. Nov 2024 08:06 Schritt für Schritt durchzugehen; danach hast du einen ersten Überblick zur U(1) Eichsymmetrie der Elektrodynamik; dies kann man dann ich Richtung SU(2) für Yang-Mills erweitern.
Das wäre schon mal ein großer Schritt.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 28. Nov 2024 09:56 Titel: |
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als mathematisch leicht verdauliche Einführung eignet sich auch das Buch von Peskin & Schroeder. Dort wird das Prinzip der Eichtheorien sowohl anhand von U(1) als auch SU(2) behandelt.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 28. Nov 2024 12:12 Titel: |
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Kenn ich nicht, hat aber einen guten Ruf.
Als Vorgriff auf die SU(2) folgende Anmerkung: Das Faserbündel sieht lokal so aus, als ob es je Punkt p der Raumzeit dort eine Kopie der Eichgruppe G gäbe. Das ist der Kern der Aussage der lokalen Eichinvarianz, d.h. man kann eine Eichfunktion
)
definieren, wobei x = x(p) die Koordinaten von p bezeichnet, und wobei theta "genügend glatt" sein muss.
Die Eichtransformation der Fermionfelder erfolgt dabei mittels
 = e^{-i\theta(x)})
g(x) ist dabei je x ein Element der U(1).
Die Transformation des Eichfeldes wird nun etwas anders geschrieben werden, nämlich als
 \, g^\dagger)
Der Ableitungsterm berechnet sich zu
was dem weiter oben eingeführten Term entspricht.
Der entscheidende Punkt ist, dass man erstens sieht, dass auch das Eichfeld selbst unter der U(1) d.h. vermöge g transformiert, wenn auch mittels einer anderen Regel als psi, und dass diese Art der Darstellung für andere Eichgruppen funktioniert, d.h. wenn g nicht Element der U(1) sondern insbs. der SU(N) ist; in diesen Fällen sind A und g matrix-wertig.
Für die SU(2) kann man das noch recht einfach zu Fuß durchrechnen.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 28. Nov 2024 20:45 Titel: |
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| Zitat: | Ich schlage vor, meinen Beitrag vom 25. Nov 2024 08:06 Schritt für Schritt durchzugehen; danach hast du einen ersten Überblick zur U(1) Eichsymmetrie der Elektrodynamik; dies kann man dann ich Richtung SU(2) für Yang-Mills erweitern.
Das wäre schon mal ein großer Schritt. |
Um an dieser Stelle wirklich weiterzukommen, muss ich wohl zuerst noch ein paar andere Dinge verinnerlichen, wie z.B. die Gruppentheorie.
S ist die Kreisgruppe des Einheitskreis in der reellen Ebene?
SO(n) ist die Drehgruppe, die Drehungen im reellen n-dim. Raum (n>1) beschreibt?
U(1) ist die Kreisgruppe des Einheitskreis in der komplexen Ebene?
SU(n) ist die Drehgruppe, die Drehungen im komplexen n-dim. Raum (n>1) beschreibt?
Gibt es zu dem Thema Leseempfehlungen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 28. Nov 2024 22:35 Titel: |
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Stimmt.
S und U(1) sind übrigens isomorph.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2024 10:33 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Ich schlage vor, meinen Beitrag vom 25. Nov 2024 08:06 Schritt für Schritt durchzugehen; danach hast du einen ersten Überblick zur U(1) Eichsymmetrie der Elektrodynamik; dies kann man dann ich Richtung SU(2) für Yang-Mills erweitern.
Das wäre schon mal ein großer Schritt. |
Um an dieser Stelle wirklich weiterzukommen, muss ich wohl zuerst noch ein paar andere Dinge verinnerlichen, wie z.B. die Gruppentheorie. |
Am besten stellst du konkrete Fragen. Ich habe den Eindruck, dass du dich beim Lesen immer verläufst.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Gibt es zu dem Thema Leseempfehlungen? |
https://en.wikipedia.org/wiki/Special_unitary_group - insbs. zur Lie-Algebra und zur SU(2)
https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices - ohne den letzten Teil zur Physik
https://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_theory - ohne den letzten Teil zur Quantisierung
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1391
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| antaris Verfasst am: 29. Nov 2024 12:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Am besten stellst du konkrete Fragen. Ich habe den Eindruck, dass du dich beim Lesen immer verläufst. |
Das Problem ist eher, dass ich die ganzen Fachbegriffe, schreibweisen, Abkürzungen usw. nicht soweit verstanden habe, dass ich deine Ausführungen klar und deutlich verstehe. Es gibt wenige Sätze, bei denen ich nicht erstmal nachschlagen muss.
Also denke ich mir, dass ich mich mit den grundsätzlichen Themen beschäftigen (und sozusagen erstmal schwimmen lernen) sollte, bevor wir hier tiefer eintauchen.
Warum z.B. die Gruppentheorie und warum ist sie so hilfreich in Mathematik und Physik? -> Weil Systeme/Strukturen sich so klassifizieren lassen und damit untereinander vergleichbar werden?
Danke. Genau das meine ich. Erstmal die Mathematik verstehen und dann weiter in Physik bzw. Quantisierung gehen. Vorher ist das vielleicht keine vergebene Mühe aber umständlich wäre es allemal.
Ich würde mir auch ein Buch kaufen oder auf Basis eines Scripts lernen aber dann sollten wir beide das gleiche verwenden. Wenn du Peskin und Schröder nicht hast, dann kann ich mir die 130€ auch sparen. Wobei "An Introduction to Quantum Field Theory" von den beiden komplett als PDF ganz einfach bei Google zu finden ist. Den link will ich hier nicht teilen, da es doch sicherlich urheberrechtlich geschützt ist.
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Zuletzt bearbeitet von antaris am 29. Nov 2024 12:23, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2024 12:23 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem ist eher, dass ich die ganzen Fachbegriffe, schreibweisen, Abkürzungen usw. nicht soweit verstanden habe, dass ich deine Ausführungen klar und deutlich verstehe. Es gibt wenige Sätze, bei denen ich nicht erstmal nachschlagen muss. |
Die Frage ist, was genau du nicht verstehst, ob du das einem Buch zur QFT lernen kannst oder wo ganz wo anders, und ob du überhaupt mit einem Thema einsteigen solltest, das im Physikstudium nicht mal verpflichtend ist und ohne diverse Semester Physik und Mathe wohl kaum zugänglich sein dürfte.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1391
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| antaris Verfasst am: 29. Nov 2024 12:41 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage ist, was genau du nicht verstehst... |
Das ist nicht so einfach zu beantworten. Nicht verstehen, nicht konkret anwenden können und nicht genug verinnerlicht zu haben, sind 3 verschiedene paar Schuhe.
Schwer nachvollziehen kann ich oft die Schritte in den Herleitungen, wenn es z.B. heißt "aus Gleichung xy folgt..." oder ähnlich (was ich mit verstehen und konkret anwenden meine). Die Ergebnisse und daraus folgende Zusammenhänge/Schlussfolgerungen verstehe ich wiederum ganz gut.
Sprich solange es nicht essentiell ist den kompletten Weg einer Herleitung verstehen zu müssen, komme ich eigentlich mit der Mathematik mittlerweile ganz gut klar, werde aber von manchen Themen doch regelrecht erschlagen (wobei es ja auch nicht Physiker wie Sand am mehr gibt, die so spezialisiert sind und das genausowenig verstehen, wie ich). Die Frage ist, welche Themen der höheren Mathematik sind unerlässlich zu lernen und welche sind "nice to have".
Ansonsten sind es "nur" Begriffe, die verinnerlicht werden müssen und eben mehr Routine mit der "Standard-Mathematik" aber für letzteres habe ich ein Buch (Mathematik mit techn. Bezug aus meinem vor Jahren aus Zeitgründe aufgegebenen Versuch einer Technikerausbildung) hier.
Rein thematisch würde ich gerne verstehen, was das Vakuum aus quantentheoretischer Sicht ist und dazu muss ja nicht zwingend die gesamte QFT erlernt werden. Im einfachsten Fall einer Schwarzschildmetrik (als Spielzeuguniversum) bleibt ja nicht soviel, was mit wechselwirkenden Quantenfeldern beschrieben werden kann. Mich interessiert auch die kanonische Quantisierung aber das muss nicht unbedingt gleich auf Fermionen oder Bosonen abzielen...es geht mir um das Vakuum, dessen verschwindender Energieerwartungswert ja irgendwie die Basis aller Quantenfelder zu sein scheint.
Wie war das mit dem Vakuum als Äquivalenzklasse aller verschwindenen Eichfelder?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 29. Nov 2024 14:07 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Schwer nachvollziehen kann ich oft die Schritte in den Herleitungen, wenn es z.B. heißt "aus Gleichung xy folgt..." oder ähnlich (was ich mit verstehen und konkret anwenden meine). |
Dann frage dazu konkret nach.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Sprich solange es nicht essentiell ist den kompletten Weg einer Herleitung verstehen zu müssen, komme ich eigentlich mit der Mathematik mittlerweile ganz gut klar … |
Gut.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Rein thematisch würde ich gerne verstehen, was das Vakuum aus quantentheoretischer Sicht ist und dazu muss ja nicht zwingend die gesamte QFT erlernt werden. Mich interessiert auch die kanonische Quantisierung … |
Eine neue Baustelle, ein eigener Thread.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Wie war das mit dem Vakuum als Äquivalenzklasse aller verschwindenen Eichfelder? |
In einer klassischen Eichtheorie entspricht das Vakuum einfach
 = 0)
 = 0)
(in einer QFT funktioniert das so nicht, ähnlich wie in der QM x = p = 0 nicht funktioniert)
Das Eichfeld A und Feldstärke F sind i.A. – nicht in der Elektrodynamik – je Raumzeitpunkt und je Index mu matrix-wertig, bei einer SU(n) Symmetriegruppe eine entsprechende su(n) Matrix.
Die Transformationen mit ebenfalls matrix-wertigen g(x) aus einer Darstellung der SU(N) lauten
Für das Vakuum gilt also
d.h. diese Eichfeldkonfigurarionen sind äquivalent zu der mit A = 0.
Details zur Berechnung in der SU(2) später.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1391
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| antaris Verfasst am: 30. Nov 2024 13:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die Eichtransformation der Fermionfelder erfolgt dabei mittels
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e ist die eulersche Zahl (e-Funktion)?
| Zitat: |
g(x) ist dabei je x ein Element der U(1). |
Woran erkennt man das? Das ist dann je x die o.g. lokale Eichinvarianz. Bedeutet dies, das global die Eichinvarianz nicht gegeben sein muss?
| Zitat: | Die Transformation des Eichfeldes wird nun etwas anders geschrieben werden, nämlich als
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Dann steckt
})
in
 \, g^\dagger) ?
Was bedeutet  ?
| Zitat: | Der Ableitungsterm berechnet sich zu
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Das meine ich allgemein mit "daraus folgt", womit ich Schwierigkeiten habe. Wichtig ist für mein Verständnis:
| Zitat: | | was dem weiter oben eingeführten Term entspricht. |
| Zitat: | | Der entscheidende Punkt ist, dass man erstens sieht, dass auch das Eichfeld selbst unter der U(1) d.h. vermöge g transformiert, wenn auch mittels einer anderen Regel als psi, und dass diese Art der Darstellung für andere Eichgruppen funktioniert, d.h. wenn g nicht Element der U(1) sondern insbs. der SU(N) ist; in diesen Fällen sind A und g matrix-wertig. |
Das (über A und g) ist sozusagen ein verallgemeinerter Formalismus der Eichtheorie auf alle Eichgruppen?
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antaris
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| antaris Verfasst am: 30. Nov 2024 13:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Rein thematisch würde ich gerne verstehen, was das Vakuum aus quantentheoretischer Sicht ist und dazu muss ja nicht zwingend die gesamte QFT erlernt werden. Mich interessiert auch die kanonische Quantisierung … |
Eine neue Baustelle, ein eigener Thread. |
Ok, dann später.
| Zitat: | In einer klassischen Eichtheorie entspricht das Vakuum einfach
(in einer QFT funktioniert das so nicht, ähnlich wie in der QM x = p = 0 nicht funktioniert) |
Ok, verstanden.
| Zitat: | | Das Eichfeld A und Feldstärke F sind i.A. – nicht in der Elektrodynamik – je Raumzeitpunkt und je Index mu matrix-wertig, bei einer SU(n) Symmetriegruppe eine entsprechende su(n) Matrix. |
Warum ist die Elektrodynamik anders?
| Zitat: | | d.h. diese Eichfeldkonfigurarionen sind äquivalent zu der mit A = 0. |
Ok nach dem setzen von A=0 bleibt nur noch
übrig, sodass 
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 30. Nov 2024 14:26 Titel: |
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In einer Eichtheorie basierend auf einer Lie-Gruppe betrachtet man zunächst die die entsprechende Lie-Algebra. Im Falle der SU(2) führt das gerade auf die Pauli-Matrizen *. Nummeriert man die Generatoren T^a der Algebra mit dem Index a durch, so erhält man matrixwertige Eichfunktionen mittels
 = \sum_a T^a \, \theta^a(x))
Das gilt für alle Lie-Algebren bzw. -gruppen.
Speziell für die U(1) ist jedoch der einzige Generator die Zahl 1, theta und g daher komplexe Zahlen.
* bis auf einen Faktor 2
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antaris
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| antaris Verfasst am: 30. Nov 2024 15:28 Titel: |
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Was sind die Generatoren bzw. was machen sie?
| Zitat: | | https://de.wikipedia.org/wiki/Lie-Algebra#Aus_der_Physik |
Bei Wiki sind ε_ij die Generatoren und das Durchnummerieren erfolgt über die Anzahl der Dimensionen?
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TomS
Moderator
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Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 30. Nov 2024 20:16 Titel: |
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Nein.
Das ein Verweis auf die SO(3). SO(n) und SU(n) verhalten sich unterschiedlich, und SO(3) in 3 Dimensionen ist ein Spezialfall.
SO(n) enthält die Rotation g auf einem n-dim. reellen Vektorraum.
Die Algebra so(n) wird aufgespannt von den Generatoren T. Die Anzahl der Drehwinkel theta^a = Anzahl der Generatoren T^a = Dimension der so(n) bzw. SO(n) ist
 = N = \frac{1}{2}n(n-1))
SU(n) enthält die Rotation g auf einem n-dim. komplexen Vektorraum.
Die Algebra sind wird aufgespannt von den Generatoren T. Die Anzahl der Drehwinkel theta^a = Anzahl der Generatoren T^a = Dimension der su(n) bzw. SU(n) ist
 = N = n^2 - 1)
Die N's und die T's sind i.A. für jede Algebra bzw. Gruppe verschieden!
In beiden Fällen läuft a über 1 … N:
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 02. Dez 2024 18:22, insgesamt einmal bearbeitet |
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