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Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung
 
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MatzeM



Anmeldungsdatum: 13.07.2022
Beiträge: 31
Beitrag MatzeM Verfasst am: 07. Feb 2025 23:16    Titel: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung Antworten mit Zitat
Meine Frage:
Hallo zusammen,

angehängt ist ein kleiner Ausschnitt aus Dirschmid: Tensoren und Felder, in dem es um die Definition des Metriktensors geht.
Eigentlich ist das alles klar, bis auf die Schlussfolgerung (1.53).

Wenn man z. B. mal annimmt, der Isomorphismus bildet auf ab, dann bedeutet Gleichung (1.53) ja auch


Dann passen aber die Indizes nicht zusammen, oder überseh ich da etwas?

Meine Ideen:

Dirschmid_Tensoren_und_Felder.png
 Beschreibung:

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 Dateiname:  Dirschmid_Tensoren_und_Felder.png
 Dateigröße:  201.29 KB
 Heruntergeladen:  93 mal
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
Beitrag Qubit Verfasst am: 11. Feb 2025 22:41    Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung Antworten mit Zitat
MatzeM hat Folgendes geschrieben:

Wenn man z. B. mal annimmt, der Isomorphismus bildet auf ab, dann bedeutet Gleichung (1.53) ja auch



Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab. Die Dualvektoren der Basisvektoren lassen sich aber in den Basisvektoren des Dualraums darstellen.
Der Isomorphismus ist vielmehr

mit Vektoren aus aus dem Vektorraum.
<.> verstanden als Skalarprodukt (lineares Funktional), das dann durch das innere Produktt (.) im Vektorraum identifiziert wird.
Mit als Dualvektor zum Vektor des Dualraums im Sinne dieses Isomorphismus stimmt dann so wieder die Notation.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
Beitrag Corbi Verfasst am: 11. Feb 2025 23:03    Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung Antworten mit Zitat
Qubit hat Folgendes geschrieben:

Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab.


Vektorraumisomorphismen bilden immer Basen auf Basen ab.
Denn lineare Unabhängigkeit ist erhalten unter einem Isomorphismus und da ein isomorphismus surjektiv ist, lässt sich auch jeder Vektor in der Bildmenge als Linearkombination des Bilds der ursprünglichen Basis schreiben.
_________________
Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach

Zuletzt bearbeitet von Corbi am 11. Feb 2025 23:10, insgesamt einmal bearbeitet
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
Beitrag Qubit Verfasst am: 11. Feb 2025 23:07    Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung Antworten mit Zitat
Corbi hat Folgendes geschrieben:
Qubit hat Folgendes geschrieben:

Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab.


Vektorraumisomorphismen bilden immer Basen auf Basen ab.


In dem Sinne, dass die Bilder der Basisvektoren eine Basis bilden.
Hier geht es aber um eine vorgegebene Basis im Dualraum. Oder übersehe ich was?
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