Lagrangegleichung

Harry Done · Anmeldungsdatum: 19.11.2006 Beiträge: 16

Hallo zusammen,
ich habe folgende Frage:
Eine Punktmasse ist an einer Schnur befestigt, die Schnur ist im Koordinatenursprung fixiert. Also quasi ein Pendel, wo die Masse aber nicht mit einer steifen Verbindung im Ursprung verankert ist, sonder in Folge der Schwerkraft durchhängt.

Wie beziehe ich jetzt die Nebenbedingung, dass die Schnur die konstante Länge l0 hat, mit in die Lagrangegleichungen mit ein.
Ich habe die Lagrangegl. für die Punktmasse frei im Schwerfeld (X-Y-System) Beim normalen Pendel macht man das Ganze ja mit Zwangsbedingungen zB die Pendellänge und Transformation in Polarkoordinaten.

An dieser Stelle würde ich ja jetzt die Eulergleichung benutzen. Aus der Variationsrechnung kenne ich es nur bei rein mathematischen Problemen, dass man die Nebenbedingungen mit dem Lagrangemultiplikator

multipliziert von dem Funktional abzieht und dann erst die Eulergleichung anwendet.
Wie würde ich hier bei diesem paraktischen Beispiel die Nebenbedingung für die Bogenlänge

einbeziehen?
Mich stört das Integral, so wie ich das aus der Variationsrechnung kenne muss das Funktional selber ein Integral sein das minimal werden soll.
Wo ist das in diesem Fall?

Bin ziemlich ratlos.
Oder ist der ganze Ansagt schon falsch? Bin für jeden Gedankenanstoß sehr dankbar.

Gruß Jan

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Vielleicht der Einfachkeit halber erst mal eine Rückfrage: Wie weit soll der Gültigkeitsbereich deiner Lösung sein?

Falls sich die Lösung auf kleine Auslenkungswinkel beschränken sollte, dann meine ich, dass du annehmen kannst, dass die Gewichtskraft den Faden immer straff hält, so dass du genauso rechnen kannst wie bei einer starren Stange statt des Fadens, siehe z.B.

http://tpri6b.gsi.de/~vanhees/faq/lagrange/node16.html

Falls im weiteren Verlauf der Aufgabe auch sehr große Auslenkungswinkel gefragt sein sollten, zum Beispiel auch Pendelpositionen oberhalb des Aufhängepunktes, dürfte es ein bisschen komplizierter werden. Da müsste man mindestens zusätzlich die Bedingung berücksichtigen, dass das Pendel oben schnell genug sein muss (also eine ausreichend große Tangentialgeschwindigkeit haben muss), damit der Faden straff bleibt.

Falls man auch Bewegungen beschreiben möchte, bei denen der Faden nicht gerade bleibt, wird es noch ein bisschen komplizierter; ich würde vermuten, dann fängt man am einfachsten an, eine Fallunterscheidung zu machen, damit man einen Teil der Bewegung (während dem der Pendelkörper auf dem Umfang des Pendelkreises ist) mit dem Modell der festen Stange rechnen kann. Der andere Teil der Bewegung (während dem der Pendelkörper innerhalb des Pendelkreises ist) wäre dann einfach eine Bewegung ohne Zwangsbedingung.

Das Integral für die Bogenlänge brauchst du also nicht als Zwangsbedingung.